Question

【題目】對(duì)于給定的，我們給出如下定義：若點(diǎn)M是邊上的一個(gè)定點(diǎn)，且以M為圓心的半圓上的所有點(diǎn)都在的內(nèi)部或邊上，則稱這樣的半圓為邊上的點(diǎn)M關(guān)于的內(nèi)半圓，并將半徑最大的內(nèi)半圓稱為點(diǎn)M關(guān)于的最大內(nèi)半圓．若點(diǎn)M是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（M不與B，C重合），則在所有的點(diǎn)M關(guān)于的最大內(nèi)半圓中，將半徑最大的內(nèi)半圓稱為關(guān)于的內(nèi)半圓．

（1）在中，，，

①如圖1，點(diǎn)D在邊上，且，直接寫出點(diǎn)D關(guān)于的最大內(nèi)半圓的半徑長(zhǎng)；

②如圖2，畫出關(guān)于的內(nèi)半圓，并直接寫出它的半徑長(zhǎng)；

（2）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)E的坐標(biāo)為，點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)（P不與O重合），將關(guān)于的內(nèi)半圓半徑記為R，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①，②1，作圖見詳解；（2）t≥或.

【解析】

（1）①過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，則以點(diǎn)D為圓心，DE長(zhǎng)為半徑的半圓與AC相切，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，即可求解；

②當(dāng)點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)時(shí)，以D為圓心，DE為半徑的半圓就是關(guān)于的內(nèi)半圓，進(jìn)而可求解；

（2）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（t，），分兩種情況分類討論，①點(diǎn)P在第一象限時(shí)，②點(diǎn)P在第三象限時(shí)，分別求出t的取值范圍，即可.

（1）①如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，則以點(diǎn)D為圓心，DE長(zhǎng)為半徑的半圓與AC相切，

∴D關(guān)于的最大內(nèi)半圓的半徑長(zhǎng)就是DE的長(zhǎng)，

∵在中，，，，

∴DE=CD÷=1÷=

②如圖2，當(dāng)點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)時(shí)，以D為圓心，DE為半徑的半圓就是關(guān)于的內(nèi)半圓，

∵在中，，，DE⊥AC ，

∴DE∥BA，

∴DE==×2=1；

（2）∵點(diǎn)P在直線上，

∴∠POE=30°

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（t，），

∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為，

∴OE=3，

①若點(diǎn)P在第一象限時(shí)，設(shè)點(diǎn)M是線段OE上的動(dòng)點(diǎn)，作MN⊥OP，MG⊥PE，

∵，

∴當(dāng)R=時(shí)，如圖3，則MN=MG=，OM=2×MN==2×=，

∴ME=3-=，

∴OM=ME，

在RtOMN和RtEMG中，

∵

∴RtOMN RtEMG（HL）

∴∠MON=∠MEG=30°，

∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)t=，

當(dāng)R=1時(shí)，如圖4，則MN=1，OM=2×MN==2×1=2，此時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)t≥3，

∴t≥時(shí)，；

②若點(diǎn)P在第三象限時(shí)，作 MG⊥PE，PH⊥x軸，

當(dāng)R=時(shí)，如圖5，則MG=MO=，

∴ME=3-MO=3-=，

∴EG=，

∴tanE=，

∴，

∴，解得：，

∴時(shí)，.

綜上所述：t≥或.

圖1 圖2

圖3 圖4

圖5