Question

19．如圖，一次函數(shù)y=-$\frac{3}{4}$x+6的圖象分別交y軸、x軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BA以每秒1個(gè)單位的速度出發(fā)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，若某一時(shí)刻，△OPA的面積為12，求此時(shí)P的坐標(biāo)；
（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)t為何值時(shí)，△AOP為等腰三角形？（只需寫出t的值，無需解答過程）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求得A、B的坐標(biāo)，用m表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用面積可求得m的值，進(jìn)一步求得P點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）可用t表示出BP、AP的長，分AP=AO、AP=OP和OP=AO三種情況，分別得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．

解答 解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=6，
當(dāng)y=0時(shí)，x=8，
則A（0，6），B（8，0），
AB=10，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，-$\frac{3}{4}$m+6），
∵△OPA的面積為12，
∴$\frac{1}{2}$×6×|m|=12，
解得：m=±4，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-4，9）或（4，3）．
（2）由題意可知BP=t，AP=10-t，
當(dāng)△AOP為等腰三角形時(shí)，有AP=AO、AP=OP和AO=OP三種情況．
①當(dāng)AP=AO時(shí)，則有10-t=6，可解得t=4；
②當(dāng)AP=OP時(shí)，過P作PM⊥AO，垂足為M，如圖1，

則M為AO中點(diǎn)，故P為AB中點(diǎn)，此時(shí)t=5；
③當(dāng)AO=OP時(shí)，過O作ON⊥AB，垂足為N，過P作PH⊥OB，垂足為H，如圖2，

則AN=$\frac{1}{2}$AP=$\frac{1}{2}$（10-t），
∵PH∥AO，
∴△AOB∽△PHB，
∴$\frac{PB}{PH}$=$\frac{AB}{AO}$，即$\frac{t}{PH}$=$\frac{10}{6}$，
∴PH=$\frac{3}{5}$t，
又∠OAN+∠AON=∠OAN+PBH=90°，
∴∠AON=∠PBH，且∠ANO=∠PHB，
∴△ANO∽△PHB，
∴$\frac{PB}{AO}$=$\frac{PH}{AN}$，即$\frac{t}{6}$=$\frac{\frac{3}{5}}{\frac{1}{2}（10-t）}$，解得t=$\frac{14}{5}$．
綜上可知當(dāng)t的值為4、5和$\frac{14}{5}$時(shí)，△AOP為等腰三角形．

點(diǎn)評 本題主要考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)有坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等腰三角形的性質(zhì)，在（2）中分三種情況討論，考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，但所考查知識(shí)比較基礎(chǔ)，難度適中．