Question

【題目】已知：在中，，在中，，連接，取的中點(diǎn)，連接和．

（1）若點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上且與點(diǎn)不重合，如圖1，探索的關(guān)系并給予證明；

（2）如果將圖1中的繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)小于的角，如圖2，那么（1）中的結(jié)論是否仍成立？如果不成立，請(qǐng)舉出反例；如果成立，請(qǐng)給予證明．

Answer 1

【答案】（1），，見(jiàn)解析；（2）（1）中的結(jié)論仍成立，見(jiàn)解析

【解析】

（1）要求BM和DM的關(guān)系，可從角的度數(shù)入手，由題意，BM是直角三角形CBE斜邊上的中線，因此BM=CM，∠MCB=∠MBC，∠BME=2∠MCB，同理可得出∠DME=2∠DCM，根據(jù)三角形ABC是個(gè)等腰直角三角形，那么∠DCM+∠BCE=45°，因此∠BME+∠DME=2（∠DCM+∠BCM）=90°，由此我們可得出∠BMD=90°，那么BM和DM是互相垂直的；

（2）可通過(guò)構(gòu)建三角形來(lái)求解，連接CD和EF，連接BD，延長(zhǎng)DM至點(diǎn)F，使得DM=MF，連接BF、FC，延長(zhǎng)ED交AC于點(diǎn)H，先證明三角形ADB和CFB全等后，再證明三角形DBF是等腰三角形，即可得出BM⊥DM．

解：（1），，

在中，是斜邊的中點(diǎn)，

∴，

∴．

在中，是斜邊的中點(diǎn)，

∴．

∴．

∴，，

∵，

∴，即．

（2）：（1）中的結(jié)論仍成立，

延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接和，連接，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．

∵，，

∴四邊形是平行四邊形，

∴，，

∵，

∵

∵，

∴．

∵，，

∴．

又∵，

∴≌，

∴，，

∵，

∴．

在中，由，，得且．