Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是邊長為2，一個銳角等于60°的菱形紙片，小芳同學將一個三角形紙片的一個頂點與該菱形頂點D重合，按順時針方向旋轉三角形紙片，使它的兩邊分別交CB、BA（或它們的延長線）于點E、F，EDF=60°，當CE=AF時，如圖①小芳同學得出的結論是DE=DF。

（1）繼續(xù)旋轉三角形紙片，當CEAF時，如圖②，小芳的結論是否成立？若成立，加以證明；若不成立，請說明理由。

（2）再次旋轉三角形紙片，當點E、F分別在CB、BA的延長線上時，如圖③，請寫出DE與DF的數量關系，并加以證明。

（3）連接EF，若△DEF的面積為y，CE=x，求y與x的關系式，并指出當x為何值時，y有最小值，最小值是多少？

Answer 1

【答案】（1）DF=DE．理由見解析；（2）DF=DE．理由見解析；（3），當x=1時，

【解析】（1）DF=DE．理由如下：

如答圖1，連接BD．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD=AB．

又∵∠DAB=60°，

∴△ABD是等邊三角形，

∴AD=BD，∠ADB=60°，

∴∠DBE=∠DAF=60°

∵∠EDF=60°，

∴∠ADF=∠BDE．

∵在△ADF與△BDE中，

，

∴△ADF≌△BDE（ASA），

∴DF=DE；

（2）DF=DE．理由如下：
如答圖2，連接BD．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD=AB．

又∵∠DAB=60°，

∴△ABD是等邊三角形，

∴AD=BD，∠ADB=60°，

∴∠DBE=∠DAF=60°

∵∠EDF=60°，

∴∠ADF=∠BDE．

∵在△ADF與△BDE中，

，

∴△ADF≌△BDE（ASA），

∴DF=DE；

（3）由（2）知，DE=DF，又∵∠EDF=60°，

∴△DEF是等邊三角形，

∵四邊形ABCD是邊長為2的菱形，

∴DH=，

∵BF=CE=x，

∴AF=x-2，

∴FH=AF+AH=x-2+1=x-1，

∴DF=，DG=×，

∴y=S△DEF=×EF×DG=×××=（x-1）2+．

∴當x=1時，y最小值=．