Question

（2012•常州）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線(xiàn)AC的中點(diǎn)為O，過(guò)點(diǎn)O作AC的垂線(xiàn)分別與AD、BC相交于點(diǎn)E、F，連接AF．求證：AE=AF．

Answer 1

分析：方法一：連接CE，由與EF是線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)，故AE=CE，再由AE∥BC可知∠ACB=∠DAC，故可得出△AOE≌△COF，故AE=CF，所以四邊形AFCE是平行四邊形，再根據(jù)AE=CE可知四邊形AFCE是菱形，故可得出結(jié)論．
方法二：首先證明△AOE≌△COF，可得OE=OF，進(jìn)而得到AC垂直平分EF，再根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可得AE=AF．

解答：證明：連接CE，
∵EF是線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)，
∴AE=CE，OA=OC，
∵AE∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
在△AOE與△COF中，
∵

∠ACB=∠DAC OA=OC ∠AOE=∠COF

，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
∵AE=CE，
∴四邊形AFCE是菱形，
∴AE=AF．

另法：∵AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，
∵

∠ACB=∠DAC OA=OC ∠AOE=∠COF

，
∴△AOE≌△COF﹙ASA﹚，
∴OE=OF，
∴AC垂直平分EF，
∴AE=AF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)及菱形的判定定理，根據(jù)題意作出輔助線(xiàn)，構(gòu)造出平行四邊形是解答此題的關(guān)鍵．