Question

如圖，已知矩形ABCD，AB=8cm，BC=6cm，動點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AB向點B移動，同時，點Q從點C出發(fā)，以相同的速度沿CD向點D移動（點P到達點B停止時，點Q也隨之停止運動），以PQ為直徑作⊙O交AB于E，連接EQ，設(shè)點P運動時間為t秒，⊙O的面積為s．
（1）求證：EQ⊥AB；
（2）試求s關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)t=2時s的值；
（3）探究：是否存在一個時刻t，使⊙O與邊AD相切？若存在，請求出此時s及t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用圓周角定理得出∠PEQ=90°，進而得出EQ⊥AB；
（2）利用PE，EQ的長得出QP的平方的值，進而得出（）²=t²-8t+25，求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式即可；
（3）利用已知得出當(dāng)⊙O與邊AD相切時，⊙O也與邊BC相切，進而利用勾股定理以及一元二次方程的解法得出t的值即可．
解答：（1）證明：∵以PQ為直徑作⊙O交AB于E，
∴PQ為⊙O直徑，∠PEQ為圓周角，
∴∠PEQ=90°，
∴EQ⊥AB；

（2）解：設(shè)點P運動時間為t秒時，
則AP=tcm，QC=tcm，
∵EQ⊥AB，
∴∠QEB=∠B=∠C=90°，
∴四邊形QEBC是矩形，
∴BE=CQ=tcm，EQ=BC=6cm，
∴PE=8-2tcm，
∴PQ²=EQ²+PE²，
∴PQ²=（8-2t）²+6²
∴（）²=[（8-2t）²+6²]=t²-8t+25，
∴S=π（）²=π（t²-8t+25）=πt²-8πt+25π，
當(dāng)t=2時，s=πt²-8πt+25π=4π-8π×2+25π=13π（cm²）；

（3）解：如圖所示：
∵P，Q運動速度相同，
∴以PQ為直徑作⊙O，當(dāng)⊙O與邊AD相切時，⊙O也與邊BC相切，
∴此時⊙O直徑為8cm，
設(shè)⊙O與邊AD相切與點M，過點P作PN⊥OM于點N，
∴MO=PO=4cm，AP=tcm，則MN=tcm，PN=AM=MD=3cm，
∴在Rt△PNO中，
PN²+NO²=PO²，
∴3²+（4-t）²=4²，
解得：t₁=4+，t₂=4-，
此時s=π×4²=16π（cm²），t的值分別為：4+秒，4-秒．
點評：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及勾股定理和一元二次方程的解法等知識，利用已知得出當(dāng)⊙O與邊AD相切時，⊙O也與邊BC相切是解題關(guān)鍵．