【題目】如圖,拋物線y= x2﹣mx+n與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C(0,﹣1).且對(duì)稱軸x=1.

(1)求出拋物線的解析式及A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)D,使四邊形ABDC的面積為3?若存在,求出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在.說(shuō)明理由(使用圖1);
(3)點(diǎn)Q在y軸上,點(diǎn)P在拋物線上,要使Q、P、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)(使用圖2).

【答案】
(1)

解:∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C(0,﹣1).且對(duì)稱軸x=l.

,解得: ,

∴拋物線解析式為y= x2 x﹣1,

x2 x﹣1=0,得:x1=﹣1,x2=3,

∴A(﹣1,0),B(3,0)


(2)

解:設(shè)在x軸下方的拋物線上存在D(a, )(0<a<3)使四邊形ABCD的面積為3.

作DM⊥x軸于M,則S四邊形ABDC=SAOC+S梯形OCDM+SBMD,

∴S四邊形ABDC= |xAyC|+ (|yD|+|yC|)xM+ (xB﹣xM)|yD|

= ×1×1+ [﹣( a2 a﹣1)+1]×a+ (3﹣a)[﹣( a2 a﹣1)]

=﹣ a2+ +2,

∴由﹣ a2+ +2=3,

解得:a1=1,a2=2,

∴D的縱坐標(biāo)為: a2 a﹣1=﹣ 或﹣1,

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,﹣ ),(2,﹣1)


(3)

解:①當(dāng)AB為邊時(shí),只要PQ∥AB,且PQ=AB=4即可,又知點(diǎn)Q在y軸上,所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為﹣4或4,

當(dāng)x=﹣4時(shí),y=7;當(dāng)x=4時(shí),y= ;

所以此時(shí)點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(﹣4,7),P2的坐標(biāo)為(4, );

②當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí),只要線段PQ與線段AB互相平分即可,線段AB中點(diǎn)為G,PQ必過(guò)G點(diǎn)且與y軸交于Q點(diǎn),

過(guò)點(diǎn)P3作x軸的垂線交于點(diǎn)H,

可證得△P3HG≌△Q3OG,

∴GO=GH,

∵線段AB的中點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為1,

∴此時(shí)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為2,

由此當(dāng)x=2時(shí),y=﹣1,

∴這是有符合條件的點(diǎn)P3(2,﹣1),

∴所以符合條件的點(diǎn)為:P1的坐標(biāo)為(﹣4,7),P2的坐標(biāo)為(4, );P3(2,﹣1).


【解析】(1)根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸公式以及二次函數(shù)經(jīng)過(guò)(0.﹣1)點(diǎn)即可得出答案;(2)根據(jù)S四邊形ABDC=SAOC+S梯形OCDM+SBMD , 表示出關(guān)于a的一元二次方程求出即可;(3)分別從當(dāng)AB為邊時(shí),只要PQ∥AB,且PQ=AB=4即可以及當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí),只要線段PQ與線段AB互相平分即可,分別求出即可.
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn);增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而減;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而減。

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