Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=﹣x2+ax+b交x軸于A（1，0），B（3，0）兩點，點P是拋物線上在第一象限內的一點，直線BP與y軸相交于點C．
（1）求拋物線y=﹣x2+ax+b的解析式；
（2）當點P是線段BC的中點時，求點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，求sin∠OCB的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：將點A、B代入拋物線y=﹣x2+ax+b可得，

，

解得，a=4，b=﹣3，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+4x﹣3

（2）解：∵點C在y軸上，

所以C點橫坐標x=0，

∵點P是線段BC的中點，

∴點P橫坐標xP= = ，

∵點P在拋物線y=﹣x2+4x﹣3上，

∴yP= ﹣3= ，

∴點P的坐標為（ ， ）

（3）解：∵點P的坐標為（ ， ），點P是線段BC的中點，

∴點C的縱坐標為2× ﹣0= ，

∴點C的坐標為（0， ），

∴BC= = ，

∴sin∠OCB= = =

【解析】（1）將點A、B代入拋物線y=﹣x2+ax+b，解得a，b可得解析式；（2）由C點橫坐標為0可得P點橫坐標，將P點橫坐標代入（1）中拋物線解析式，易得P點坐標；（3）由P點的坐標可得C點坐標，A、B、C的坐標，利用勾股定理可得BC長，利用sin∠OCB= 可得結果．
【考點精析】利用拋物線與坐標軸的交點和解直角三角形對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．；解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)．