【題目】如圖1,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx+c過原點OB(﹣4,4),且對稱軸為直線x=

(1)求拋物線的函數(shù)表達式;

(2)D是直線OB下方拋物線上的一動點,連接OD,BD,在點D運動過程中,當OBD面積最大時,求點D的坐標和OBD的最大面積;

(3)如圖2,若點P為平面內(nèi)一點,點N在拋物線上,且∠NBO=ABO,則在(2)的條件下,直接寫出滿足POD∽△NOB的點P坐標.

【答案】(1)y=x2+3x,(2)m=﹣2時,SBOD有最大值,最大值為8,此時D點坐標為(﹣2,﹣2);(3)P點坐標為(,﹣)或(﹣,).

【解析】

根據(jù)條件運用待定系數(shù)法就可求出拋物線的解析式.

D點作DCy軸交OBC,再設(shè)點D(m,m2+3m)(﹣4<m<0),則C(m,﹣m),再利用三角形面積公式計算化簡SBOD=﹣2(m+2)2+8即可求出結(jié)果.

BKy軸于K,BIx軸于I,BNy軸于M點,易得四邊形BIOK為正方形,再利用全等三角判定定理得出RtBIARtBKM,列出方程組和利用(2)的條件進行討論即可求解.

解:(1)∵拋物線對稱軸為直線x=

A(﹣3,0),

設(shè)拋物線解析式為y=ax(x+3),

B(﹣4,4)代入得a(﹣4)(﹣4+3)=4,解得a=1,

∴拋物線解析式為y=x(x+3),y=x2+3x,

(2)D點作DCy軸交OBC,如圖1,

直線OB的解析式為y=﹣x,

設(shè)D(m,m2+3m)(﹣4<m<0),則C(m,﹣m),

DC=﹣m﹣(m2+3m)=﹣m2﹣4m,

SBOD=SBCD+SOCD=4DC=﹣2m2﹣8m=﹣2(m+2)2+8,

m=﹣2時,SBOD有最大值,最大值為8,此時D點坐標為(﹣2,﹣2);

(3)作BKy軸于K,BIx軸于I,BNy軸于M點,如圖2,

易得四邊形BIOK為正方形

∵∠NBO=ABO,

∴∠IBA=KBM,

BI=KM,

RtBIARtBKM,

KM=AI=1,

M(0,3),

設(shè)直線BN的解析式為y=px+q,

B(﹣4,4),M(0,3)代入得,解得,

∴直線BN的解析式為y=﹣x+3,

解方程組,

N(,),

OB=4,OD=2

=,

∴△PODNOB的相似比為1:2,

OB的中點EEFBNONF,如圖2,

∴△FOE∽△NOB,它們的相似比為1:2,

F點為ON的中點,

F(,),

∵點E與點D關(guān)于x軸對稱,

∴點P′與點F關(guān)于x軸對稱時,P′OD≌△FOE,則P′OD∽△NOB,此時P′(,﹣);

P′點關(guān)于OD的對稱點P″,則P″OD≌△P′OD,則P″OD∽△NOB,此時P″(﹣,),

綜上所述,滿足條件的P點坐標為(,﹣)或(﹣,).

練習冊系列答案
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【題目】如圖,在△ABC中,ABBC,∠B90°,點D為直線BC上一個動點(不與B,C重合),連結(jié)AD.將線段AD繞點D按順吋針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段DE,連結(jié)EC

1)如圖1,點D在線段BC上,依題意畫圖得到圖2

①求證:∠BAD=∠EDC;

②方方同學通過觀察、測量得出結(jié)論:在點D運動的過程中,總有∠DCE135°.方方的主要思路有以下幾個:

思路一:在AB上取一點F使得BFBD,要證∠DCE135°,只需證△ADF≌△DEC

思路二:以點D為圓心,DC為半徑畫弧交AC于點F,要證∠DCE135°,只需證△AFD≌△ECD

思路三:過點EBC所在直線的垂線段EF,要證∠DCE135°,只需證EFCF

……

請你參考井選擇其中一個思路,證明∠DCE135°

2)如果點D在線段CB的延長線上運動,利用圖3畫圖分析,∠DCE的度數(shù)還是確定的值嗎?如果是,請寫出∠DCE的度數(shù)并說明理由;如果不是,也請說明你的理由.

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【題目】ABC的三邊分別為,下列條件能推出ABC是直角三角形的有(

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【題目】已知,DA,DBDC是從點D出發(fā)的三條線段,且DA=DB=DC

1)如圖,若點D在線段上,連結(jié).試判斷的形狀,并說明理由.

2)如圖②,連結(jié),且相交于點E.若,,求的長.

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c>0;2a﹣b=0;<0;④若點B(﹣,y1),C(﹣,y2)為函數(shù)圖象上的兩點,則y1>y2;四個結(jié)論中正確的是_____

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【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x=﹣1,給出下列結(jié)論:

b2=4ac;abc>0;a>c;4a﹣2b+c>0,其中正確的個數(shù)有(

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

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【題目】如圖,在ABC中,∠BCAB=8,BC=6,點DAB的中點,點P在線段BC上以每秒2個單位的速度由點B向點C運動,同時點Q在線段CA上以每秒a個單位的速度由點C向點A運動,設(shè)運動時間為t(秒)(0≤t≤3).

(1)用含t的代數(shù)式表示線段PC的長;

(2)若點PQ的運動速度相等,t=1時,BPDCQP是否全等,請說明理由.

(3)若點P、Q的運動速度不相等,BPDCQP全等時,求a的值.

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⑵該貨棧打算在進價的基礎(chǔ)上,每盞燈加價 30%,進行銷售,該貨棧要想獲得利潤不低于 10000 元,應(yīng)至少再購進彩燈多少盞?

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