Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點B的坐標為（3，0）

（1）求m的值及拋物線的頂點坐標．

（2）點P是拋物線對稱軸l上的一個動點，當PA+PC的值最小時，求點P的坐標．

（3）點M是拋物線在第一象限內(nèi)圖像上的任意一點，求當BCM的面積最大時點M的坐標.

Answer 1

【答案】（1）m=2,頂點坐標為（1，4）；（2）點P（1，2）；（3）

【解析】

（1）將點B的坐標為（3，0）代入解析式中，即可求得m的值，然后利用頂點坐標公式求得拋物線的頂點坐標；

（2）根據(jù)A、B關于拋物線的對稱軸對稱，先連接BC交拋物線對稱軸于點P，則此時PA+PC的值最小，然后利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式，從而求出P點坐標；

（3）過M點作MD⊥x軸交BC與點D，利用M、D所在的圖像設出坐標，再利用“鉛垂高水平寬”求出面積與坐標的關系，最后利用頂點坐標求最值即可.

解：（1）將點B的坐標為（3，0）代入解析式中得：

解得：m=2

故拋物線的解析式為：

頂點坐標的橫坐標為：，代入解析式中得y=4

∴拋物線的頂點坐標為：（1，4）；

（2）∵根據(jù)A、B關于拋物線的對稱軸對稱

∴連接BC交拋物線對稱軸于點P，則此時PA+PC的值最小，

將x=0代入到中，得：

∴點C的坐標為（0，3）

設直線BC的解析式為：y=kx+b，

將B、C的坐標分別代入得：

解得：

所以直線BC的解析式為：y=-x+3

將x=1代入到y(tǒng)=-x+3得：y=2

∴P點坐標為（1，2）

（3）過M點作MD⊥x軸交BC與點D，設M的坐標為，D的坐標為，C到MD的距離為h1，B到MD的距離為h2，由圖可知h1+ h2=OB=3

∴MD=

∴SBCM=SDCM+SBDM=

∵

∴當時，SBCM有最大值，

將代入中，得：，

故當BCM的面積最大時點M的坐標為：