Question

【題目】如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)M，弦MN∥BC交AB于點(diǎn)E，且ME=1，AM=2，AE=
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）求 的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，

∵M(jìn)E=1，AM=2，AE= ，

∴ME2+AE2=AM2=4，

∴△AME是直角三角形，且∠AEM=90°．

又∵M(jìn)N∥BC，

∴∠ABC=∠AEM=90°，即OB⊥BC．

又∵OB是⊙O的半徑，

∴BC是⊙O的切線

（2）解：如圖，連接ON．

在Rt△AEM中，sinA= = ，

∴∠A=30°．

∵AB⊥MN，

∴ = ，EN=EM=1，

∴∠BON=2∠A=60°．

在Rt△OEN中，sin∠EON= ，

∴ON= = ，

∴ 的長(zhǎng)度是： = ．

【解析】（1）欲證明BC是⊙O的切線，只需證明OB⊥BC即可；（2）首先，在Rt△AEM中，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求得∠A=30°； 其次，利用圓心角、弧、弦間的關(guān)系、圓周角定理求得∠BON=2∠A=60°，由三角形函數(shù)的定義求得ON= = ；
最后，由弧長(zhǎng)公式l= 計(jì)算 的長(zhǎng)．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了勾股定理的逆定理和切線的判定定理的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c有下面關(guān)系：a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形；切線的判定方法：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能正確解答此題．