Question

【題目】定義：若兩個(gè)橢圓的離心率相等，則稱兩個(gè)橢圓是“相似”的． 如圖，橢圓C1與橢圓C2是相似的兩個(gè)橢圓，并且相交于上下兩個(gè)頂點(diǎn)．橢圓C1： 的長軸長是4，橢圓C2： 短軸長是1，點(diǎn)F1 ， F2分別是橢圓C1的左焦點(diǎn)與右焦點(diǎn)，
（Ⅰ）求橢圓C1 ， C2的方程；
（Ⅱ）過F1的直線交橢圓C2于點(diǎn)M，N，求△F2MN面積的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C1的半焦距為c，橢圓C2的半焦距為c'．由已知a=2，b=m， ． ∵橢圓C1與橢圓C2的離心率相等，即 ，
∴ ，即
∴ ，即bm=b2=an=1，∴b=m=1，
∴橢圓C1的方程是 ，橢圓C2的方程是 ；
（Ⅱ）顯然直線的斜率不為0，故可設(shè)直線的方程為： ．
聯(lián)立： ，得 ，即 ，
∴△=192m2﹣44（1+4m2）=16m2﹣44＞0，設(shè)M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），
則 ， ，∴ ，
△F2MN的高即為點(diǎn)F2到直線 的距離h= = ，
∴△F2MN的面積 ，
∵ ，等號成立當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)，
∴ ，即△F2MN的面積的最大值為 ．
【解析】（Ⅰ）設(shè)橢圓C1的半焦距為c，橢圓C2的半焦距為c'，易知a=2，b=m，n= ，根據(jù)橢圓C1與橢圓C2的離心率相等，可得關(guān)于a，b，m，n的方程，解出即可；（Ⅱ）由題意可設(shè)直線的方程為： ．與橢圓C2的方程聯(lián)立消掉x得y的二次方程，則△＞0，由弦長公式可表示出|MN|，由點(diǎn)到直線的距離公式可表示出△F2MN的高h(yuǎn)，則△F2MN的面積S= ，變形后運(yùn)用基本不等式即可求得S的最大值；
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：即可以解答此題．