Question

18．如圖，在?ABCD中，F是CD的中點，延長AB到點E，使BE=$\frac{1}{2}$AB，連接CE，BF．
（1）求證：四邊形BECF是平行四邊形；
（2）若AB=10，AD=6，∠A=60°，試求CE的長．

Answer 1

分析 （1）根據平行四邊形的性質得到AB∥CD，且AB=DC．由F是CD的中點，得到CF=$\frac{1}{2}$CD．根據平行四邊形的判定定理即可得到結論；
（2）如圖，過點C作CH⊥BE于點H．解直角三角形得到BH=$\frac{1}{2}$CB=3，CH=3$\sqrt{3}$，根據勾股定理即可得到結論．

解答 證明：（1）在?ABCD中，AB∥CD，且AB=DC．
∵F是CD的中點，
∴CF=$\frac{1}{2}$CD．
又∵BE=$\frac{1}{2}$AB，
∴CF=BE，且CF∥BE，
∴四邊形BECF是平行四邊形；

（2）解：如圖，過點C作CH⊥BE于點H．
在?ABCD中，∵∠A=60°，
∴∠CBE=60°．
∵AB=10，AD=6，
∴CB=AD=6，
∴BH=$\frac{1}{2}$CB=3，CH=3$\sqrt{3}$．
在?BECF中，BE=CF=$\frac{1}{2}$CD=5，則EH=2．
∴在Rt△CHE中，根據勾股定理知CE=$\sqrt{（3\sqrt{3}）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{31}$．

點評 本題考查了平行四邊形的判定與性質、勾股定理．平行四邊形的判定方法共有五種，應用時要認真領會它們之間的聯系與區(qū)別，同時要根據條件合理、靈活地選擇方法．