Question

【題目】綜合與探究

如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，其對稱軸與拋物線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)，，的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)為拋物線對稱軸上的一個動點(diǎn)，從點(diǎn)出發(fā)，沿射線以每秒2個單位長度的速度運(yùn)動，過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊）.設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動時間為．

①當(dāng)為何值時，以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；

②連接，在點(diǎn)運(yùn)動的過程中，是否存在點(diǎn)，使得，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由；

③點(diǎn)在軸上，點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以線段為對角線作菱形，當(dāng)時，請直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）①當(dāng)時，以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；②點(diǎn)從的坐標(biāo)為或；③或．

【解析】

（1）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，利用配方法可求出拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）①由MN∥AB可得出當(dāng)MN=AE時四邊形MNEA為平行四邊形，由點(diǎn)A，E的坐標(biāo)結(jié)合二次函數(shù)的對稱性可得出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)G的運(yùn)動方向及速度，即可求出t值；

②過點(diǎn)M作MH⊥x軸，垂足為點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，-m2+2m+6）（m＜2），則BH=6-m，MH=|-m2+2m+6|，由∠MBA=∠EDB結(jié)合正切的定義，可得出關(guān)于m的方程，解之即可得出m的值，將其代入點(diǎn)M的坐標(biāo)即可得出結(jié)論；

③設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（n，-n2+2n+6）（n＜2）時PQ=MN，結(jié)合題意可得出關(guān)于n的方程，解之即可得出n的值，將其代入點(diǎn)M的坐標(biāo)可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再點(diǎn)G的運(yùn)動方向及速度，即可求出t值．

解：（1）當(dāng)時，，解得，，

點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，則，.

∵，∴.

∴，，.

（2）①∵，

∴，.

∴，.

當(dāng)以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時，，.

∵點(diǎn)，關(guān)于對稱軸對稱，∴.

∴點(diǎn)與點(diǎn)重合.∴.

∵，∴.∴.

∴當(dāng)時，以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形

②∵，∴.∴.

過點(diǎn)作軸于點(diǎn).設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

則，，∴.

∵，∴.

∴，即.

如圖（1），當(dāng)點(diǎn)在軸上方時，，

∴，

解得，（不合題意，舍去）.

當(dāng)時， ∴.

如圖（2），當(dāng)點(diǎn)在軸下方時，，

∴，解得，（不合題意，舍去）.

當(dāng)時，.∴.

綜上所述，點(diǎn)從的坐標(biāo)為或.

③或

解析：點(diǎn)在軸上，四邊形是菱形，

∴點(diǎn)與點(diǎn)重合，即，菱形對角線的交點(diǎn)為點(diǎn).

∵，

∴.

∴.

設(shè)，則.

如圖（3），當(dāng)在軸上方時，.

∵點(diǎn)在的圖象上，

∴，

∴

解得，（不合題意，舍去），

∴.

∴.

∴.

如圖（4），當(dāng)在軸下方時，.

∵點(diǎn)在的圖象上，

∴.

∴.

解得，（不合題意，舍去），

∴.

∴.

∴.

綜上所述，或