【題目】探究:如圖1和2,四邊形ABCD中,已知AB=AD,∠BAD=90°,點E、F分別在BC、CD上,∠EAF=45°.
(1)①如圖1,若∠B、∠ADC都是直角,把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,使AB與AD重合,則能證得
EF=BE+DF,請寫出推理過程;

②如圖2,若∠B、∠D都不是直角,則當(dāng)∠B與∠D滿足數(shù)量關(guān)系時,仍有EF=BE+DF;

(2)拓展:如圖3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2 ,點D、E均在邊BC上,且∠DAE=45°.若BD=1,求DE的長.

【答案】
(1)

解:如圖1,

∵把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,使AB與AD重合,

∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,BE=DG,

∵∠BAD=90°,∠EAF=45°,

∴∠BAE+∠DAF=45°,

∴∠DAG+∠DAF=45°,

即∠EAF=∠GAF=45°,

在△EAF和△GAF中

∴△EAF≌△GAF(SAS),

∴EF=GF,

∵BE=DG,

∴EF=GF=BE+DF;

②解:∠B+∠D=180°,

理由是:

把△ABE繞A點旋轉(zhuǎn)到△ADG,使AB和AD重合,

則AE=AG,∠B=∠ADG,∠BAE=∠DAG,

∵∠B+∠ADC=180°,

∴∠ADC+∠ADG=180°,

∴C、D、G在一條直線上,

和①知求法類似,∠EAF=∠GAF=45°,

在△EAF和△GAF中

∴△EAF≌△GAF(SAS),

∴EF=GF,

∵BE=DG,

∴EF=GF=BE+DF;

故答案為:∠B+∠D=180°;


(2)

解:∵△ABC中,AB=AC=2 ,∠BAC=90°,

∴∠ABC=∠C=45°,由勾股定理得:BC= = =4,

把△AEC繞A點旋轉(zhuǎn)到△AFB,使AB和AC重合,連接DF.

則AF=AE,∠FBA=∠C=45°,∠BAF=∠CAE,

∵∠DAE=45°,

∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC﹣∠DAE=90°﹣45°=45°,

∴∠FAD=∠DAE=45°,

在△FAD和△EAD中

∴△FAD≌△EAD,

∴DF=DE,

設(shè)DE=x,則DF=x,

∵BC=1,

∴BF=CE=4﹣1﹣x=3﹣x,

∵∠FBA=45°,∠ABC=45°,

∴∠FBD=90°,

由勾股定理得:DF2=BF2+BD2,

x2=(3﹣x)2+12,

解得:x=

即DE=


【解析】(1)①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE=AG,∠BAE=∠DAG,BE=DG,求出∠EAF=∠GAF=45°,根據(jù)SAS推出△EAF≌△GAF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=GF,即可求出答案;②根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE=AG,∠B=∠ADG,∠BAE=∠DAG,求出C、D、G在一條直線上,根據(jù)SAS推出△EAF≌△GAF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=GF,即可求出答案;(2)根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)好勾股定理求出∠ABC=∠C=45°,BC=4,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AF=AE,∠FBA=∠C=45°,∠BAF=∠CAE,求出∠FAD=∠DAE=45°,證△FAD≌△EAD,根據(jù)全等得出DF=DE,設(shè)DE=x,則DF=x,BF=CE=3﹣x,根據(jù)勾股定理得出方程,求出x即可.
【考點精析】通過靈活運用勾股定理的概念和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2;①旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的線段長短不變,旋轉(zhuǎn)角度大小不變;②旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的點到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變;③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變,只是位置變了即可以解答此題.

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B.2
C.3
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7

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(1)甲隊成績的中位數(shù)是 分,乙隊成績的眾數(shù)是 分;

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