Question

在△ADE中，AE=AD且∠AED=∠ADE，∠EAD=90°．

（1）如圖（1），若EC、DB分別平分∠AED、∠ADE，交AD、AE于點C、B，連接BC．請你判斷AB、AC是否相等，并說明理由；
（2）△ADE的位置保持不變，將（1）中的△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至圖（2）的位置，CD、BE相交于O，請你判斷線段BE與CD的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）在（2）的條件下，若CD=8，試求四邊形CEDB的面積．

Answer 1

解：（1）AB=AC．
理由如下：∵EC、DB分別平分∠AED、∠ADE，
∴∠AEC=∠AED，∠ADB=∠ADE，
∵∠AED=∠ADE，
∴∠AEC=∠ADB，
在△AEC和△ADB中，，
∴△AEC≌△ADB（ASA），
∴AB=AC；

（2）BE=CD且BE⊥CD．
理由如下：∵∠EAD=∠BAC，
∴∠EAD+∠BAD=∠BAC+∠BAD，
即∠EAB=∠DAC，
在△AEB和△ADC中，，
∴△AEB≌△ADC（SAS），
∴EB=CD，
∴∠AEB=∠ADC，
∵∠AEB+∠DEB+∠ADE=90°，
∴∠ADC+∠DEB+∠ADE=90°，
∵∠ADC+∠DEB+∠ADE+∠DOE=180°，
∴∠DOE=90°，
∴BE⊥CD；

（3）S_{四邊形CEDB}=S_△BCD+S_△CDE=CD•BO+CD•EO，
=CD•（BO+EO），
=CD•BE，
=CD²，
∵CD=8，
∴四邊形CEDB的面積=×8²=×64=32．
分析：（1）根據(jù)角平分線的定義求出∠AEC=∠ADB，然后利用“角邊角”證明△AEC與△ADB全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可證明；
（2）先根據(jù)∠EAD=∠BAC證明∠EAB=∠DAC，然后利用“邊角邊”證明△AEB和△ADC全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BE=CD，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠AEB=∠ADC，然后證明∠ADC+∠DEB+∠ADE=90°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠DOE=90°，從而證明BE⊥CD；
（3）把四邊形的面積分成△BCD與△CDE兩個三角形，然后根據(jù)三角形的面積公式列式整理為四邊形的面積等于CD²，再代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，以及旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，準(zhǔn)確識圖，找出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵．