Question

14．如圖，⊙O的半徑為10，點(diǎn)C為$\widehat{AB}$ 的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作弦CD∥OA，交OB于E．
（1）當(dāng)∠D=44°時(shí)，∠AOB=88°；
（2）若已知AB=16，求弦CD的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)AB的長(zhǎng)為多少時(shí)，△OED為直角三角形？請(qǐng)寫出解答過(guò)程．

Answer 1

分析 （1）如圖，由題意可知∠1=∠2=∠3，∠AOB=2∠3，即可解決問(wèn)題．
（2）如圖構(gòu)造RT△CDF，利用△CDF∽△OKA即可求出CD．
（3）當(dāng)∠AOB=90°，可以推出△OED是RT△，再利用勾股定理求AB．

解答 解：（1）∵OD=OC，
∴∠1=∠2，
∵AO∥CD，∠2=44°，
∴∠3=∠1=∠2=44°，
∵點(diǎn)C為$\widehat{AB}$ 的中點(diǎn)，
∴∠3=∠BOC，∠AOB=2∠3=88°，
故答案為88°．
（2）延長(zhǎng)CO交⊙O于F，連接DF．
∵點(diǎn)C為$\widehat{AB}$ 的中點(diǎn)，
∴OC⊥AB，垂足為K，
∵CF是直徑，
∴∠FDC=∠AKO=90°，
∵∠1=∠3，
∴△OKA∽△CDF，
∴$\frac{AO}{CF}=\frac{OK}{CD}$，
∵AO=10，AK=$\frac{1}{2}$AB=8，
∴OK=$\sqrt{A{O}^{2}-A{K}^{2}}$=6，
∴$\frac{10}{20}=\frac{6}{CD}$，
∴CD=12．
（3）當(dāng)∠AOB=90°，由（1）可知∠3=∠BOC=∠1=45°
∴∠OEC=90°，
∴OE⊥DE，
∴△ODE是RT△，
∴AB=$\sqrt{A{O}^{2}+B{O}^{2}}$=10$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了垂徑定理、直徑的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，尋找相似三角形利用相似三角形性質(zhì)求線段是常用的數(shù)學(xué)方法．