Question

19．已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn) C的坐標(biāo)為 （0，3），對(duì)稱軸是x=1．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）過頂點(diǎn)M和點(diǎn)C的直線y=kx+g與x軸交于點(diǎn)D，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)N，與A、C、D三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)平行四邊形？若存在，寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；否則寫出理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對(duì)稱軸和A的坐標(biāo)求得B的坐標(biāo)，然后根據(jù)勾股定理即可求得拋物線的解析式；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的解析式求得頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法求得直線的解析式，然后令y=0，即可求得D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）求得C點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)N的坐標(biāo)，然后得到CN∥AD，且CN=AD，即可證得四邊形ADCN是平行四邊形，即可得出在二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)N，與A、C、D三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)平行四邊形．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），對(duì)稱軸是x=1．
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B（3，0），
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），
∵點(diǎn) C（0，3）在拋物線上，
∴3=-3a，
解得a=-1，
∴y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3，
∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=-x²+2x+3；
（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴M（1，4），
∵C（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+g=4}\\{g=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{g=3}\end{array}\right.$，
∴直線y=kx+g的解析式為y=x+3，
令y=0，求得x=-3，
∴D（-3，0）；
（3）存在，
如圖，把y=3代入y=-x²+2x+3得-x²+2x+3=3，
解得x₁=0，x₂=2，
∴點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，3），
∵CN=2，AD=3-1=2，
∴CN=AD，
∵CN∥x軸，
∴CN∥AD，
∴四邊形ADCN是平行四邊形，
∴在二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)N，與A、C、D三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，此時(shí)N（2，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)的交點(diǎn)式、拋物線的對(duì)稱性、平行四邊形的判定與性質(zhì)，解一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用是解答此題的關(guān)鍵．