Question

如圖，已知拋物線與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若M為對稱軸上的點，且△MAB的面積是4，求M點的坐標；
（3）設拋物線的頂點為D，在第一象限的拋物線上是否存在點N，使得△NCD是等腰三角形？若存在，求出符合條件的N點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）設y=ax²+bx+c，然后利用待定系數法求二次函數解析式解答；
（2）先求出拋物線對稱軸解析式，再求出AB的長度，再利用三角形的面積求出點M到AB的距離，然后分兩種情況寫出即可；
（3）根據二次函數的對稱性，點C關于對稱軸對稱的點即為所求的點N的位置；求出點D的坐標，然后寫出CD的垂直平分線的解析式，再與拋物線解析式聯(lián)立求解得到的點的坐標也是滿足條件的點N．

解答：解：（1）設y=ax²+bx+c，
將A（-1，0），B（3，0），C（0，3）代入得，

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解得

a=-1 b=2 c=3

，
所以，y=-x²+2x+3；

（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴對稱軸為直線x=1，
∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=3-（-1）=4，
設點M到AB的距離為h，
則S_△MAB=

1

2

AB•h=

1

2

×4•h=4，
解得h=2，
所以，點M的坐標為（1，2）或（1，-2）；

（3）①∵點C關于對稱軸直線x=1的對稱點為（2，3），
∴點N為（2，3）時，△CDN是等腰三角形，
②∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點D（1，4），
∵C（0，3），
∴CD與y軸的夾角為45°，
∴CD的垂直平分線與y軸的交點坐標為（0，4），
∴CD垂直平分線得解形式為y=-x+4，
聯(lián)立

y=-x2+2x+3 y=-x+4

，
解得

x1= 3- 5 2 y1= 5+ 5 2

，

x2= 3+ 5 2 y2= 5- 5 2

，
∴點N的坐標為（

3- 5

2

，

5+ 5

2

）或（

3+ 5

2

，

5- 5

2

），
綜上所述，存在點N（2，3）或（

3- 5

2

，

5+ 5

2

）或（

3+ 5

2

，

5- 5

2

），使△NCD是等腰三角形．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要利用了待定系數法求二次函數解析式，三角形的面積，等腰三角形的性質，難點在于（2）（3）分情況討論．