Question

【題目】知識(shí)再現(xiàn)：已知，如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)M、N分別在邊BC、CD上，連接AM、AN、MN，∠MAN＝45°，延長(zhǎng)CB至G使BG＝DN，連接AG，根據(jù)三角形全等的知識(shí)，我們可以證明MN＝BM+DN．

知識(shí)探究：（1）在如圖中，作AH⊥MN，垂足為點(diǎn)H，猜想AH與AB有什么數(shù)量關(guān)系？并證明；

知識(shí)應(yīng)用：（2）如圖，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于點(diǎn)D，且BD＝2，AD＝6，則CD的長(zhǎng)為 ；

知識(shí)拓展：（3）如圖，四邊形ABCD是正方形，E是邊BC的中點(diǎn)，F為邊CD上一點(diǎn)，∠FEC＝2∠BAE，AB=24，求DF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）AB＝AH， 證明見(jiàn)解析；（2）3；（3）8 .

【解析】

（1）先證△ABG≌△ADN，再證△GAM≌△NAM，根據(jù)GM和NM是對(duì)應(yīng)邊，得到AB＝AH（全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等）；

（2）作△ABD關(guān)于直線AB的對(duì)稱△ABE，作△ACD關(guān)于直線AC的對(duì)稱△ACF，延長(zhǎng)EB、FC交于點(diǎn)G，則四邊形AEGF是矩形，又AE=AD=AF，所以四邊形AEGF是正方形，設(shè)設(shè)CD=x，則BG=62=4；CG=6 x；BC=2+ x，在Rt△BGC中，得x=3，所以CD的長(zhǎng)為3．

（3）過(guò)點(diǎn)A作交EF于點(diǎn)M,證明△ABE≌△AME，得到 再證明≌,設(shè)DF=x，得到EF=12+ x；FC=24 x；EC=12，在Rt△EFC中, 解方程即可.

（1）答：AB＝AH，

證明：如圖1

∵四邊形ABCD是正方形，

∴

∴

又∵AB=AD，

∵在△ABG和△ADN中，

∴△ABG≌△ADN(SAS)，

∴

∵

∴

∴

即

∵在△GAM和△NAM中，

∴△GAM≌△NAM(SAS)，

又∵GM和NM是對(duì)應(yīng)邊，

∴AB=AH(全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等)；

(2)作△ABD關(guān)于直線AB的對(duì)稱△ABE，作△ACD關(guān)于直線AC的對(duì)稱△ACF，

∵AD是△ABC的高，

∴

∴

又∵

∴

延長(zhǎng)EB、FC交于點(diǎn)G，則四邊形AEGF是矩形，

又∵AE=AD=AF

∴四邊形AEGF是正方形，

由(1)、(2)知：EB=DB=2，AE=AF=AD=EG=6，

設(shè)CD=x，

∴BG=62=4；CG=6 x；BC=2+ x，

在Rt△BGC中,

解得

故CD的長(zhǎng)為3.

（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)A作交EF于點(diǎn)M,

在△ABE和△AME中，

∴△ABE≌△AME(AAS)，

在和中，

≌,

設(shè)DF=x，

∴EF=12+ x/span>；FC=24 x；EC=12，

在Rt△EFC中,

解得

故DF的長(zhǎng)為8.

圖3