Question

9．已知，在正方形ABCD中，AB=2，點(diǎn)E是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在CB的延長(zhǎng)線上，∠EAF=90°．
（1）求證：DE=BF；
（2）若AE=GE，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）利用同角的余角相等得出∠FAB=∠EAD，利用ASA判定Rt△ABF≌Rt△ADE，全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等從而得到DE=BF；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)得出DE的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：∵∠FAE=90°，
∴∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠EAD，
∴∠FAB=∠EAD，
在△ABF和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAB=∠EAD}\\{AB=AD}\\{∠ABF=∠ADE}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ADE（ASA），
∴DE=BF；

（2）解：過點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H，
∵AE=GE，
∴AH=HG，
由題意可得：AH=HG=DE=BF，
∵HE∥FB，
∴△HEG∽BFG，
∴$\frac{HE}{FB}$=$\frac{HG}{BG}$，
設(shè)DE=x，則$\frac{2}{x}$=$\frac{x}{2-2x}$，
解得：x=2$\sqrt{2}$-2（負(fù)數(shù)舍去），
即DE的長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$-2．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定方法和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出△HEG∽BFG是解題關(guān)鍵．