Question

【題目】已知拋物線y=mx2+（2﹣2m）x+m﹣2（m是常數(shù)）．

（1）無論m取何值，該拋物線都經(jīng)過定點(diǎn) D．直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

（2）當(dāng)m取不同的值時(shí)，該拋物線的頂點(diǎn)均在某個(gè)函數(shù)的圖象上，求出這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式．

（3）若在0≤x≤1的范圍內(nèi)，至少存在一個(gè)x的值，使y＞0，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) 定點(diǎn)D（1，0）；(2)在；（3）m＞2．

【解析】

①當(dāng)x=1時(shí)，y=0.說明無論m取何值，函數(shù)圖像都經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)（1,0），可求定點(diǎn).

②根據(jù)拋物線方程求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出函數(shù)表達(dá)式.

③根據(jù)一二問求出拋物線與x軸的交點(diǎn)，再討論對稱軸與交點(diǎn)坐標(biāo)的位置關(guān)系.

解：（1）∵拋物線y=mx2+（2﹣2m）x+m﹣2=m（x﹣1）2+2（x﹣1）

∴當(dāng)x﹣1=0時(shí)，無論m為何值，拋物線經(jīng)過定點(diǎn) D，

∴x=1，y=0，

∴定點(diǎn)D（1，0）；

（2）∵﹣=﹣=1﹣，

==﹣，

∴頂點(diǎn)為（1﹣，﹣），

∴頂點(diǎn)在函數(shù)y=x﹣1上；

（3）由（1）、（2）可得，該拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（1，0），對稱軸為直線x=1﹣．

①

當(dāng)m＞0時(shí)，拋物線開口方向向上，且1﹣＜1，

由圖象可知，要滿足條件，只要x=0式，y=m﹣2＞0，

∴m＞2；

②

當(dāng)m＜0時(shí)，拋物線開口方向向下，且1﹣＞1，

由圖象可知，不符合題意；

綜上所述，m的取值范圍是：m＞2．