Question

【題目】某公司生產的某種產品每件成本為40元，經市場調查整理出如下信息：

①該產品90天售量（n件）與時間（第x天）滿足一次函數(shù)關系，部分數(shù)據如下表：

②該產品90天內每天的銷售價格與時間（第x天）的關系如下表：

（1）求出第10天日銷售量；

（2）設銷售該產品每天利潤為y元，請寫出y關于x的函數(shù)表達式，并求出在90天內該產品的銷售利潤最大？最大利潤是多少？（提示：每天銷售利潤＝日銷售量×（每件銷售價格﹣每件成本））

（3）在該產品銷售的過程中，共有多少天銷售利潤不低于5400元，請直接寫出結果．

Answer 1

【答案】（1）180；（2）當x＝40時，y的值最大，最大值是7200；（3）46天銷售利潤不低于5400元．

【解析】

（1）根據待定系數(shù)法解出一次函數(shù)解析式即可，進而得出第10天日銷售量；
（2）當1≤x＜50時，y=-2x2+160x+4000；當50≤x≤90時，y=-120x+12000，分別求出各段上的最大值，比較即可得到結論；
（3）根據1≤x＜50和50≤x≤90時，由y≥5400求得x的范圍，據此可得銷售利潤不低于5400元的天數(shù)．

解：（1）∵n與x成一次函數(shù)，

∴設n＝kx+b，將x＝1，n＝198，x＝3，n＝194代入，得：

，

解得：．

所以n關于x的一次函數(shù)表達式為n＝﹣2x+200，

故第10天日銷售量：n＝﹣20+200＝180（件）；

（2）設銷售該產品每天利潤為y元，y關于x的函數(shù)表達式為：

，

當1≤x＜50時，y＝﹣2x2+160x+4000＝﹣2（x﹣40）2+7200，

∵﹣2＜0，

∴當x＝40時，y有最大值，最大值是7200；

當50≤x≤90時，y＝﹣120x+12000，

∵﹣120＜0，

∴y隨x增大而減小，即當x＝50時，y的值最大，最大值是6000；

綜上所述，當x＝40時，y的值最大，最大值是7200，即在90天內該產品第40天的銷售利潤最大，最大利潤是7200元；

（3）當1≤x＜50時，由y≥5400可得﹣2x2+160x+4000≥5400，

解得：10≤x≤70，

∵1≤x＜50，

∴10≤x＜50；

當50≤x≤90時，由y≥5400可得﹣120x+12000≥5400，

解得：x≤55，

∵50≤x≤90，

∴50≤x≤55，

綜上所述，10≤x≤55，

故在該產品銷售的過程中，共有46天銷售利潤不低于5400元．