Question

【題目】（復(fù)習(xí)舊知）

結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：

數(shù)軸上表示4和1的兩點(diǎn)之間的距離是3：而│4－1│＝3；表示－3和2兩點(diǎn)之間的距離是5：而│－3－2│＝5；表示－4和－7兩點(diǎn)之間的距離是3，而│－4－(－7)│＝3．

一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離公式為│m－n│．

（1）數(shù)軸上表示數(shù)－5的點(diǎn)與表示－2的點(diǎn)之間的距離為________；

（探索新知）

如圖①，我們在“格點(diǎn)”直角坐標(biāo)系上可以清楚看到：要找AB或DE的長度，顯然是化為求Rt△ABC或Rt△DEF的斜邊長．

下面：以求DE為例來說明如何解決．

從坐標(biāo)系中發(fā)現(xiàn)：D（－7，5），E(4，－3)．所以DF＝│5－(－3）│＝8，EP＝│4－(－7）│＝11，所以由勻股定理可得：DE＝．

（2）在圖②中：設(shè)A（x1，y1），B(x2，y2)，試用x1，y1，x2，y2表示：

AC＝____________，BC＝____________，AB＝____________．

得出的結(jié)論被稱為“平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間距離公式”．

（學(xué)以致用）

請用此公式解決如下題目：

（3）已知：A(2，1），B(4，3)，C為坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，且使得△ABC是以AB為底邊的等腰三角形．請求出C點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）y1-y2；x1-x2；（3）（5，0）或（0，5）.

【解析】

（1）利用數(shù)軸上表示兩點(diǎn)之間的距離公式即可求出；

（2）先求出AC、BC的長，再利用勾股定理求出AB.

（3）由△ABC是以AB為底邊的等腰三角形，點(diǎn)C在坐標(biāo)軸上，可知點(diǎn)C在AB中垂線上，作出中垂線不難發(fā)現(xiàn)此時(shí)點(diǎn)C有兩種情況，①若點(diǎn)C在x軸上，利用平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間距離公式和等腰三角形的腰相等列方程即可；②若點(diǎn)C在y軸上，求法同①.

解：（1）由數(shù)軸上表示兩點(diǎn)之間的距離公式可知：表示數(shù)－5的點(diǎn)與表示－2的點(diǎn)之間的距離為：│－5－(－2）│=3；

（2）由圖②可知AC=y1-y2，BC= x1-x2，由勾股定理得：AB=；

（3）如下圖所示，

∵△ABC是以AB為底邊的等腰三角形，點(diǎn)C在坐標(biāo)軸上

∴點(diǎn)C在AB中垂線上，作出中垂線不難發(fā)現(xiàn)此時(shí)點(diǎn)C有兩種情況，

若點(diǎn)C在x軸上，可設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（xc，0）利用平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間距離公式，

∴AC=

BC=

∴=

解得xc=5.

故C點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0）.

若點(diǎn)C在y軸上，可設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，yc）利用平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間距離公式，

AC=

BC=

∴=

解得yc=5，

故點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，5）.

綜上所述點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，0）或（0，5）.