Question

【題目】已知拋物線與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,連結AC、BC，D是線段OB上一動點，以CD為一邊向右側作正方形CDEF，連結BF，若S△OBC=8，AC=BC。

（1）求拋物線的解析式；

（2）求證：BF⊥AB；

（3）求∠FBE的度數；

（4）當D點沿x軸正方向移動到點B時，點E也隨著移動，求點E所走過的路線長。

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=-x2+4；（2）證明見解析；（3）45°；（4）4.

【解析】

試題分析：（1）根據拋物線的對稱性得到拋物線的對稱軸為y軸，則b=0；然后利用方程與二次函數的關系求得點B、C的坐標，由S△OBC=8可以求得c的值；

（2）由拋物線y=-x2+4交x軸于點A、B，當x=0，求出圖象與y軸的交點坐標，以及y=0，求出圖象與x軸的交點坐標，即可得出三角形的形狀；首先證明△ACD≌△BCF，利用三角形的全等，得出∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，即可得出答案；

（3）如圖，連接BE，過點E作EM⊥x軸于點M．易證△ODC≌△DME，則DM=OC=4，OD=EM．易求BM=EM．則∠MBE=∠MEB=45°；由（2）知，BF⊥AB，故

∠FBE=∠FBM-∠MBE=45°；

（4）由（3）知，點E在定直線上，當點D沿x軸正方向移動到點B時，點E所走過的路程長等于BC的長度．

試題解析：（1）如圖，∵AC=BC，

∴該拋物線的對稱軸是y軸，則b=0．

∴C（0，c），B（，0）．

∵S△OBC=8，

∴OCOB=×c×=8，解得c=4（c＞0）．

故該拋物線的解析式為y=-x2+4；

（2）證明：由（1）得到拋物線的解析式為y=-x2+4；

令y=0，得x1=4，x2=-4，

∴A（-4，0），B（4，0），

∴OA=OB=OC，

∴△ABC是等腰直角三角形；

如圖，又∵四邊形CDEF是正方形，

∴AC=BC，CD=CF，∠ACD=∠BCF，

在△ACD和△BCF中

，

∴△ACD≌△BCF（SAS），

∴∠CBF=∠CAD=45°，

∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，

∴BF⊥AB；

（3）如圖，連接BE，過點E作EM⊥x軸于點M．

易證△ODC≌△DME，則DM=OC=4，OD=EM．

∵OD=OB-BD=4-BD=DM-BD=BM，

∴BM=EM．

∵∠EMB=90°，

∴∠MBE=∠MEB=45°；

由（2）知，BF⊥AB，

∴∠FBE=∠FBM-∠MBE=45°；

（4）由（3）知，點E在定直線上，當點D沿x軸正方向移動到點B時，點E所走過的路程長等于BC=4.