Question

15．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，把△ABC繞AB邊上的點D順時針旋轉90°得到△A′B′C′，A′C′交AB于點E，若AD=BE，則△A′DE的面積是$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 在Rt△ABC中，由勾股定理求得AB=5，由旋轉的性質可知AD=A′D，設AD=A′D=BE=x，則DE=5-2x，根據(jù)旋轉90°可證△A′DE∽△ACB，利用相似比求x，再求△A′DE的面積．

解答 解：Rt△ABC中，由勾股定理求AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
由旋轉的性質，設AD=A′D=BE=x，則DE=5-2x，
∵△ABC繞AB邊上的點D順時針旋轉90°得到△A′B′C′，
∴∠A′=∠A，∠A′DE=∠C=90°，
∴△A′DE∽△ACB，
∴$\frac{DE}{A'D}$=$\frac{BC}{AC}$，即$\frac{5-2x}{x}$=$\frac{4}{3}$，解得x=$\frac{3}{2}$，
∴S_△A′DE=$\frac{1}{2}$DE×A′D=$\frac{1}{2}$×（5-2×$\frac{3}{2}$）×$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$，
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質，勾股定理及旋轉的性質．關鍵是根據(jù)旋轉的性質得出相似三角形，利用相似比求解．