Question

【題目】已知A(α，0)、B(b，0)，點(diǎn)C在y軸上，且由|a＋4|＋(b－2)2＝0．

(1)若S△ABC＝6，求C點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)將C向右平移，使OC平分∠ACB，點(diǎn)P是x軸上B點(diǎn)右邊的一動(dòng)點(diǎn)，PQ⊥OC于Q點(diǎn)．當(dāng)∠ABC－∠BAC＝60°時(shí)，求∠APQ的度數(shù)；

(3)在(2)的條件下，將線段AC平移，使其經(jīng)過(guò)P點(diǎn)得線段EF，作∠APE的角平分線交OC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．當(dāng)P點(diǎn)在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求∠M－∠ABC的值．

Answer 1

【答案】(1) C(0，2)或（0，-2）;(2)∠APQ＝30°;(3)∠M－∠ABC＝0.

【解析】

（1）根據(jù)已知條件求出點(diǎn)A,B的坐標(biāo)，結(jié)合三角形的面積公式求出點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo).

（2）根據(jù)∠COB為AOC的外角可得∠COB＝∠BAC＋∠ACB，后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可用∠ABC和∠ACB表示∠COB，結(jié)合兩式及∠ABC－∠BAC＝60°即可求解.

（3）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理結(jié)合題（1）可得∠M＋∠MPO＝120°，后根據(jù)EF∥AC，∠BAC＝∠APF以及PM平分∠OPE可得∠MPO＝90°－∠BAC，再根據(jù)已知條件∠ABC－∠BAC＝60°，結(jié)合三式即可求得∠M－∠ABC的值.

解：(1) 由已知條件 |a＋4|＋(b－2)2＝0

可求得a=-4,b=2,即A(-4，0)、B(2，0)

S△ABC＝（|a|+b）c=6

可求得c=2

即點(diǎn)C坐標(biāo)為(0，2)或（0，-2）.

(2) ∵∠COB＝∠BAC＋∠ACB；

又∵∠COB＝180°－∠ABC－∠ACB

∴2∠COB＝180°＋∠BAC－∠ABC，∠ABC－∠BAC＝60°

∴∠COB＝60°，∴∠APQ＝30°

(3) 在△OMP中，∠M＋∠MOP＋∠MPO＝180°，∠M＋∠MPO＝120°

∵EF∥AC，∴∠BAC＝∠APF，

∴∠MPO＝(180°-∠APF )=90°－∠BAC，∠BAC＝∠ABC－60°

∴∠MPO＝120°－∠ABC

∴∠M＋120°－∠ABC＝120°，∴∠M－∠ABC＝0