Question

（2012•攀枝花）如圖，在平面直角坐標系xOy中，四邊形ABCD是菱形，頂點A、C、D均在坐標軸上，且AB=5，sinB=

4

5

．
（1）求過A、C、D三點的拋物線的解析式；
（2）記直線AB的解析式為y₁=mx+n，（1）中拋物線的解析式為y₂=ax²+bx+c，求當y₁＜y₂時，自變量x的取值范圍；
（3）設直線AB與（1）中拋物線的另一個交點為E，P點為拋物線上A、E兩點之間的一個動點，當P點在何處時，△PAE的面積最大？并求出面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）由菱形ABCD的邊長和一角的正弦值，可求出OC、OD、OA的長，進而確定A、C、D三點坐標，通過待定系數法可求出拋物線的解析式．
（2）首先由A、B的坐標確定直線AB的解析式，然后求出直線AB與拋物線解析式的兩個交點，然后通過觀察圖象找出直線y₁在拋物線y₂圖象下方的部分．
（3）該題的關鍵點是確定點P的位置，△APE的面積最大，那么S_△APE=

1

2

AE×h中h的值最大，即點P離直線AE的距離最遠，那么點P為與直線AB平行且與拋物線有且僅有的唯一交點．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD=

4

5

；
Rt△OCD中，OC=CD•sinD=4，OD=3；
OA=AD-OD=2，即：
A（-2，0）、B（-5，4）、C（0，4）、D（3，0）；
設拋物線的解析式為：y=a（x+2）（x-3），得：
2×（-3）a=4，a=-

2

3

；
∴拋物線：y=-

2

3

x²+

2

3

x+4．

（2）由A（-2，0）、B（-5，4）得直線AB：y₁=-

4

3

x-

8

3

；
由（1）得：y₂=-

2

3

x²+

2

3

x+4，則：

y=- 4 3 x- 8 3   y=- 2 3 x2+ 2 3 x+4

，
解得：

x1=-2 y1=0

，

x2=5 y2=- 28 3

；
由圖可知：當y₁＜y₂時，-2＜x＜5．

（3）∵S_△APE=

1

2

AE•h，
∴當P到直線AB的距離最遠時，S_△APE最大；
若設直線L∥AB，則直線L與拋物線有且只有一個交點時，該交點為點P；
設直線L：y=-

4

3

x+b，當直線L與拋物線有且只有一個交點時，
-

4

3

x+b=-

2

3

x²+

2

3

x+4，且△=0；
求得：b=

11

2

，即直線L：y=-

4

3

x+

11

2

；
可得點P（

3

2

，

7

2

）．
由（2）得：E（5，-

28

3

），則直線PE：y=-

11

3

x+9；
則點F（

27

11

，0），AF=OA+OF=

49

11

；
∴△PAE的最大值：S_△PAE=S_△PAF+S_△AEF=

1

2

×

49

11

×（

28

3

+

7

2

）=

343

12

．
綜上所述，當P（

3

2

，

7

2

）時，△PAE的面積最大，為

343

12

．

點評：該題考查的是函數的動點問題，其中綜合了特殊四邊形、圖形面積的求法等知識，找出動點問題中的關鍵點位置是解答此類問題的大致思路．