Question

【題目】如圖，正五邊形的邊長為2，連對角線AD，BE，CE，線段AD分別與BE和CE相交于點M，N，則MN=__________；

Answer 1

【答案】3-

【解析】根據正五邊形的性質得到∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°，根據三角形的內角和即可得到結論；由于∠AEN=108°﹣36°=72°，∠ANE=36°+36°=72°，得到∠AEN=∠ANE，根據等腰三角形的判定定理得到AE=AN，同理DE=DM，根據相似三角形的性質得到，等量代換得到AN2=AMAD；根據AE2=AMAD，列方程得到MN=3﹣；

解：∵∠BAE=∠AED=108°，

∵AB=AE=DE，

∴∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°，

∴∠AME=180°﹣∠EAM﹣∠AEM=108°，

∵∠AEN=108°﹣36°=72°，∠ANE=36°+36°=72°，

∴∠AEN=∠ANE，

∴AE=AN，

同理DE=DM，

∴AE=DM，

∵∠EAD=∠AEM=∠ADE=36°，

∴△AEM∽△ADE，

∴，

∴AE2=AMAD；

∴AN2=AMAD；

∵AE2=AMAD，

∴22=（2﹣MN）（4﹣MN），

∴MN=3﹣．

“點睛”此題主要考查了正多邊形的性質和相似三角形的性質，根據三角形的內角和、相似三角形的性質即可得到結論．