Question

【題目】在ABCD中，點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)為B′，連接AB′，CB′，CB′交AD于F點(diǎn)．

（1）如圖1，∠ABC=90°，求證：F為CB′的中點(diǎn)；

（2）小宇通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、提出猜想：如圖2，在點(diǎn)B繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，點(diǎn)F始終為CB′的中點(diǎn)．小宇把這個(gè)猜想與同學(xué)們進(jìn)行交流，通過(guò)討論，形成了證明該猜想的幾種想法：

想法1：過(guò)點(diǎn)B′作B′G∥CD交AD于G點(diǎn)，只需證三角形全等；

想法2：連接BB′交AD于H點(diǎn)，只需證H為BB′的中點(diǎn)；

想法3：連接BB′，BF，只需證∠B′BC=90°．

…

請(qǐng)你參考上面的想法，證明F為CB′的中點(diǎn)．（一種方法即可）

（3）如圖3，當(dāng)∠ABC=135°時(shí)，AB′，CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，求的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）．

【解析】

（1）證明：根據(jù)已知條件得到ABCD為矩形，AB=CD，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠D=∠BAD=90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）方法1：如圖2，過(guò)點(diǎn)B′作B′G∥CD交AD于點(diǎn)G，由軸對(duì)稱的性質(zhì)得到∠1=∠2，AB=AB′，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠2=∠3，∠1=∠3，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠4=∠D，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；方法2：連接BB′交直線AD于H點(diǎn)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到B′H=HB，由平行線分線段成比例定理得到結(jié)論；方法3：連接BB′，BF，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到AD是線段B′B的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到B′F=FB，得到∠1=∠2，由平行線的性質(zhì)得到∠B′BC=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠3=∠4，于是得到結(jié)論；
（3）取B′E的中點(diǎn)G，連結(jié)GF，由（2）得，F(xiàn)為CB′的中點(diǎn)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BAD=180°-∠ABC=45°，由對(duì)稱性的性質(zhì)得到∠EAD=∠BAD=45°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠GFA=∠FAB=45°，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．

（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∠ABC=90°，

∴□ABCD為矩形，AB=CD，

∴∠D=∠BAD=90°，

∵B，B′關(guān)于AD對(duì)稱，

∴∠B′AD=∠BAD=90°，AB=AB′，

∴∠B′AD=∠D，

∵∠AFB′=∠CFD，

在△AFB′與△CFD中，，

∴△AFB′≌△CFD（AAS），

∴FB′=FC，

∴F是CB′的中點(diǎn)；

（2）證明：

方法1：如圖2，過(guò)點(diǎn)B′作B′G∥CD交AD于點(diǎn)G，

∵B，B′關(guān)于AD對(duì)稱，

∴∠1=∠2，AB=AB′，

∵B′G∥CD，AB∥CD，

∴B′G∥AB．

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠3，

∴B′A=B′G，

∵AB=CD，AB=AB′，

∴B′G=CD，

∵B′G∥CD，

∴∠4=∠D，

∵∠B′FG=∠CFD，

在△B′FG與△CFD中，

∴△B′FG≌△CFD（AAS），

∴FB′=FC，

∴F是CB′的中點(diǎn)；

方法2：連接BB′交直線AD于H點(diǎn)，

∵B，B′關(guān)于AD對(duì)稱，

∴AD是線段B′B的垂直平分線，

∴B′H=HB，

∵AD∥BC，

∴=1，

∴FB′=FC．

∴F是CB′的中點(diǎn)；

方法3：連接BB′，BF，

∵B，B′關(guān)于AD對(duì)稱，

∴AD是線段B′B的垂直平分線，

∴B′F=FB，

∴∠1=∠2，

∵AD∥BC，

∴B′B⊥BC，

∴∠B′BC=90°，

∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，

∴∠3=∠4，

∴FB=FC，

∴B′F=FB=FC，

∴F是CB′的中點(diǎn)；

（3）解：取B′E的中點(diǎn)G，連結(jié)GF，

∵由（2）得，F(xiàn)為CB′的中點(diǎn)，

∴FG∥CE，F(xiàn)G=CE，

∵∠ABC=135°，□ABCD中，AD∥BC，

∴∠BAD=180°﹣∠ABC=45°，

∴由對(duì)稱性，∠EAD=∠BAD=45°，

∵FG∥CE，AB∥CD，

∴FG∥AB，

∴∠GFA=∠FAB=45°，

∴∠FGA=90°，GA=GF，

∴FG=sin∠EADAF=AF，

∴由①，②可得．