Question

9．平面內有一等腰直角三角板（∠ACB=90°） 直線過點A．過點C作CE⊥MN于點E，過點B作BF⊥MN于點F．當點E與點A重合時（如圖1），易證：AF+BF=2CE．
（1）當三角板繞點A順時針旋轉至圖2的位置時，上述結論是否仍然成立？若成立，請給予證明，若不成立，也請說明理由；
（2）當三角板繞點A順時針旋轉至圖3的位置時，線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數量關系，請寫出你的猜想，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）過B作BH⊥CE與點H，易證△ACE≌△CBH，根據全等三角形的對應邊相等，即可證得AF+BF=2CE；
（2）過點C作CG⊥BF，交BF延長線于點G，易證△CBG≌△CAE，根據全等三角形的對應邊相等，即可證得AF-BF=2CE．

解答 解：（1）AF+BF=2CE仍成立，
過B作BH⊥CE于點H，
∵∠BCH+∠ACE=90°，
又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠BCH，
在△ACE與△CBH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEC=∠BHC=90°}\\{∠CAE=∠BCH}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△CBH．
∴CH=AE，BF=HE，CE=BH，
∴AF+BF=AE+EF+BF=CH+EF+HE=CE+EF=2EC．
（2）如圖3，過點C作CG⊥BF，交BF延長線于點G，
∵AC=BC，
可得∠AEC=∠CGB，
∠ACE=∠BCG，
在△CBG與△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEC=∠CGB}\\{∠ACE=∠BCG}\\{AC=BC}\end{array}\right.$
∴△CBG≌△CAE，
∴AE=BG，
∵AF=AE+EF，
∴AF=BG+CE=BF+FG+CE=2CE+BF，
∴AF-BF=2CE．

點評 考查了等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，正確作出垂線，構造全等三角形是解決本題的關鍵．