Question

9．平面內(nèi)有一等腰直角三角板（∠ACB=90°） 直線過(guò)點(diǎn)A．過(guò)點(diǎn)C作CE⊥MN于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥MN于點(diǎn)F．當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)（如圖1），易證：AF+BF=2CE．
（1）當(dāng)三角板繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置時(shí)，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明，若不成立，也請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)三角板繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3的位置時(shí)，線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出你的猜想，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）過(guò)B作BH⊥CE與點(diǎn)H，易證△ACE≌△CBH，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可證得AF+BF=2CE；
（2）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BF，交BF延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，易證△CBG≌△CAE，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可證得AF-BF=2CE．

解答 解：（1）AF+BF=2CE仍成立，
過(guò)B作BH⊥CE于點(diǎn)H，
∵∠BCH+∠ACE=90°，
又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠BCH，
在△ACE與△CBH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEC=∠BHC=90°}\\{∠CAE=∠BCH}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△CBH．
∴CH=AE，BF=HE，CE=BH，
∴AF+BF=AE+EF+BF=CH+EF+HE=CE+EF=2EC．
（2）如圖3，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BF，交BF延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，
∵AC=BC，
可得∠AEC=∠CGB，
∠ACE=∠BCG，
在△CBG與△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEC=∠CGB}\\{∠ACE=∠BCG}\\{AC=BC}\end{array}\right.$
∴△CBG≌△CAE，
∴AE=BG，
∵AF=AE+EF，
∴AF=BG+CE=BF+FG+CE=2CE+BF，
∴AF-BF=2CE．

點(diǎn)評(píng) 考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出垂線，構(gòu)造全等三角形是解決本題的關(guān)鍵．