Question

11．如圖，在直角△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分線MN交BC于點D，交AB于點E，CF∥AB交MN于點F，連接CE、BF．
（1）求證：△BED≌△CFD；
（2）求證：四邊形BECF是菱形．
（3）當∠A滿足什么條件時，四邊形BECF是正方形，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AAS證明兩三角形全等；
（2）利用全等得：BE=CF，由中垂線的性質得：CE=BE，CF=BF，則四邊相等，得出四邊形BECF是菱形；
（3）根據(jù)有一個角是直角的菱形是正方形得結論．

解答 （1）證明：∵MN是BC的中垂線，
∴CD=BD，
∵CF∥AB，
∴∠BED=∠CFD，∠EBD=∠DCF，
∴△BED≌△CFD；
（2）證明：∵MN是BC的中垂線，
∴CE=BE，CF=BF，
由（1）得△BED≌△CFD，
∴BE=CF，
∴BE=CE=CF=BF，
∴四邊形BECF是菱形；
（3）解：當∠A=45°時，四邊形BECF是正方形，理由是：
∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠ABC=90°-45°=45°，
由（2）可得四邊形BECF是菱形，
∴∠FBC=∠EBC=45°，
∴∠EBF=90°，
∴四邊形BECF是正方形．

點評 本題是四邊形的綜合題，難度適中，考查了菱形、正方形、等腰直角三形、全等三角形的性質和判定等知識；熟練掌握這些性質是關鍵，本題證明中要注意運用上一問的結論進行證明．