Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，延長(zhǎng)弦BD到點(diǎn)C，使DC=BD，連接AC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E．

（1）判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若⊙O的半徑為6，∠BAC=60°，延長(zhǎng)ED交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖

直線DE與⊙O的位置關(guān)系是相切，

證明：連接OD，

∵AO=BO，BD=DC，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴DE⊥OD，

∵OD為半徑，

直線DE是⊙O的切線，

即直線DE與⊙O的位置關(guān)系是相切

（2）

解：

∵OD∥AC，∠BAC=60°，

∴∠DOB=∠A=60°，

∵DE是⊙O切線，

∴∠ODF=90°，

∴∠F=30°，

∴FO=2OD=12，

由勾股定理得：DF=6 ，

∴陰影部分的面積S=S△ODF﹣S扇形DOB= ×6×6 ﹣ =18 ﹣6π

【解析】（1）連接OD，根據(jù)三角形的中位線得出OD∥AC，推出OD⊥DE，根據(jù)切線的判定推出即可；（2）求出∠DOF=60°，∠F=30°，求出DF，根據(jù)陰影部分的面積等于三角形ODF的面積減去扇形DOB的面積，分別求出后代入即可．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的圓周角定理和切線的判定定理，需要了解頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角;頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角;一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半；切線的判定方法：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能得出正確答案．