Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，D、A、E在直線m上，∠ADB=∠AEC=∠BAC．

（1）求證：DE=DB+EC；

（2）若∠BAC=120°，AF平分∠BAC，且AF=AB，連接FD、FE，請判斷△DEF的形狀，并寫出證明過程．

Answer 1

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)．

【分析】（1）由∠ADB=∠AEC=∠BAC，于是得到∠ADB+∠ABD+∠BAD=∠BAD+∠BAC+∠EAC=180°，推出∠ABD=∠EAC，證得△ABD≌△AEC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD=AE，然后根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論；

（2）由等邊三角形的性質(zhì)就可以求出∠BAC=120°，就可以得出△BAD≌△ACE，就有BD=AE，進而得出△BDF≌△AEF，得出DF=EF，∠BFD=∠AFE，進而得出∠DFE=60°，就有△DEF為等邊三角形．

【解答】（1）證明：∵∠ADB=∠AEC=∠BAC，

∴∠ADB+∠ABD+∠BAD=∠BAD+∠BAC+∠EAC=180°，

∴∠ABD=∠EAC，

在△ABD與△ACE中，

，

∴△ABD≌△AEC，

∴BD=AE，

∵DE=AD+AE，

∴DE=DB+EC；

（2）△DEF為等邊三角形

理由：∵△ABF和△ACF均為等邊三角形

∴BF=AF=AB=AC=CF，∠BAF=∠CAF=∠ABF=60°，

∴∠BDA=∠AEC=∠BAC=120°，

∴∠DBA+∠DAB=∠CAE+∠DAB=60°，

∴∠DBA=∠CAE．

在△BAD和△ACE中，

，

∴△ADB≌△CEA（AAS），

∴BD=AE，∠DBA=∠CAE．

∵∠ABF=∠CAF=60°，

∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，

∴∠DBF=∠FAE．

在△BDF和△AEF中，

，

∴△DBF≌△EAF（SAS），

∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，

∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，

∴△DEF為等邊三角形．

【點評】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的運用．等邊三角形的判定及性質(zhì)的運用，等式的性質(zhì)的運用，解答時證明三角形的全等是關(guān)鍵．