Question

如圖，直線y=﹣3x﹣3與x軸、y軸分別相交于點A、C，經過點C且對稱軸為x=1的拋物線y=ax²+bx+c與x軸相交于A、B兩點．

（1）試求點A、C的坐標；

（2）求拋物線的解析式；

（3）若點M在線段AB上以每秒1個單位長度的速度由點B向點A運動，同時，點N在線段OC上以相同的速度由點O向點C運動（當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動），又PN∥x軸，交AC于P，問在運動過程中，線段PM的長度是否存在最小值？若有，試求出最小值；若無，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵y=﹣3x﹣3，

∴當y=0時，﹣3x﹣3=0，解得x=﹣1，

∴A（﹣1，0）；

∵當x=0時，y=﹣3，

∴C（0，﹣3）；

（2）∵拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸為x=1，過點A（﹣1，0）、C（0，﹣3），

∴，解得，

∴拋物線的解析式為y=x²﹣2x﹣3；

（3）由對稱性得點B（3，0），設點M運動的時間為t秒（0≤t≤3），則M（3﹣t，0），N（0，﹣t），P（x_P，﹣t）．

∵PN∥OA，

∴△CPN∽△CAO，

∴=，即=，

∴x_P=﹣1．

過點P作PD⊥x軸于點D，則D（﹣1，0），

∴MD=（3﹣t）﹣（﹣1）=﹣+4，

∴PM²=MD²+PD²=（﹣+4）²+（﹣t）²=（25t²﹣96t+144），

又∵﹣=＜3，

∴當t=時，PM²最小值為，

故在運動過程中，線段PM的長度存在最小值．