Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣ x2+ x+3 與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC、BC．點(diǎn)P沿AC以每秒1個(gè)單位長度的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q沿BO以每秒2個(gè)單位長度的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接PQ．過點(diǎn)Q作QD⊥x軸，與拋物線交于點(diǎn)D，與BC交于點(diǎn)E，連接PD，與BC交于點(diǎn)F．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．

（1）求直線BC的函數(shù)表達(dá)式；
（2）①直接寫出P，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)（用含t的代數(shù)式表示，結(jié)果需化簡）
②在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)PQ=PD時(shí)，求t的值；
（3）試探究在點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得點(diǎn)F為PD的中點(diǎn)？若存在，請直接寫出此時(shí)t的值與點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由y=0得﹣ x2+ x+3 =0，

解得：x1=﹣3，x2=9，

∴B（9，0），

由x=0得y=3 ，

∴C（0，3 ），

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，∴ ，

∴ ，

∴直線BC的解析式為y=﹣ x+3

（2）

解：①過p作PG⊥x軸于G，

∵A（﹣3，0），C（0，3 ），

∴OA=3．OC=3 ，

∴tan∠CAO= ，

∴∠CAO=60°，

∵AP=t，

∴PG= t，AG= t，

∴OG=3﹣ t，

∴P（ t﹣3， t），

∵DQ⊥x軸，BQ=2t，

∴OQ=9﹣2t，

∴D（9﹣2t，﹣ t2+ t），

②過P作PH⊥QD于H，

則四邊形PGQH是矩形，

∴HQ=PG，∵PQ=PD，PH⊥QD，∴DQ=2HQ=2PG，∵P（ t﹣3， t），D（9﹣2t，﹣ t2+ t），

∴﹣ t2+ t=2× t，

解得：t1=0（舍去），t2= ，∴當(dāng)PQ=PD時(shí)，t的值是 ；

（3）

解：∵點(diǎn)F為PD的中點(diǎn)，

∴F的橫坐標(biāo)為： （ t﹣3+9﹣2t）=﹣ t+3，F(xiàn)的縱坐標(biāo)為 （ t﹣ t2+ t）=﹣ t2+ t，

∴F（﹣ t+3，﹣ t2+ t），

∵點(diǎn)F在直線BC上，

∴﹣ t2+ t=﹣ （﹣ t+3）+3 ，

∴t=3，

∴F（ ， ）

【解析】（1）更好函數(shù)的解析式得到B（9，0），C（0，3 ），解方程組即可得到結(jié)論；（2）①過p作PG⊥x軸于G，解直角三角形得到∠CAO=60°，得到PG= t，AG= t，于是得到P（ t﹣3， t），把OQ=9﹣2t代入二次函數(shù)的解析式即可得到D（9﹣2t，﹣ t2+ t），②過P作PH⊥QD于H，得到四邊形PGQH是矩形，列方程即可得到即可；（3）根據(jù)折疊坐標(biāo)公式得到F（﹣ t+3，﹣ t2+ t），由點(diǎn)F在直線BC上，列方程即可得到結(jié)論．