Question

【題目】如圖1 ,等腰直角三角形 ABC 中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線 DE 經(jīng)過(guò)點(diǎn) C，過(guò) A 作 AD⊥DE 于點(diǎn) D，過(guò) B 作 BE⊥DE 于點(diǎn) E，則△BEC≌△CDA，我們稱這種全等模型為 “K 型全等”．（不需要證明）

（模型應(yīng)用）若一次函數(shù) y=kx+4（k≠0）的圖像與 x 軸、y 軸分別交于 A、B 兩點(diǎn)．

（1）如圖 2，當(dāng) k=－1 時(shí)，若點(diǎn) B 到經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線 l 的距離 BE 的長(zhǎng)為 3，求點(diǎn) A 到直線 l 的距離 AD 的長(zhǎng)；

（2）如圖 3，當(dāng) k=－ 時(shí)，點(diǎn) M 在第一象限內(nèi)，若△ABM 是等腰直角三角形，求點(diǎn)

M 的坐標(biāo)；

（3）當(dāng) k 的取值變化時(shí)，點(diǎn) A 隨之在 x 軸上運(yùn)動(dòng)，將線段 BA 繞點(diǎn) B 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90° 得到 BQ，連接 OQ，求 OQ 長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（7,3）或（4,7）或（，）；（3）OQ的最小值為4．

【解析】

（1）先求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理即可求出OE的長(zhǎng)，然后利用AAS證出△ADO≌△OEB，即可求出AD的長(zhǎng)；

（2）先求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)分類討論，分別畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖形，利用AAS證出對(duì)應(yīng)的全等三角形即可分別求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）根據(jù)k的取值范圍分類討論，分別畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖形，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，0），證出對(duì)應(yīng)的全等三角形，利用勾股定理得出OQ2與x的函數(shù)關(guān)系式，利用平方的非負(fù)性從而求出OQ的最值．

解：（1）根據(jù)題意可知：直線AB的解析式為y=-x+4

當(dāng)x=0時(shí)，y=4；當(dāng)y=0時(shí)，x=4

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4,0）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,4）

∴OA=BO=4

根據(jù)勾股定理：OE=

∵∠ADO=∠OEB=∠AOB=90°

∴∠AOD＋∠OAD=90°，∠AOD＋∠BOE=90°

∴∠OAD=∠BOE

在△ADO和△OEB中

∴△ADO≌△OEB

∴AD= OE=

（2）由題意可知：直線AB的解析式為y=x+4

當(dāng)x=0時(shí)，y=4；當(dāng)y=0時(shí)，x=3

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,0）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,4）

∴OA=3，BO=4

①當(dāng)△ABM是以∠BAM為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形時(shí)，AM=AB，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸于N

∵∠MNA=∠AOB=∠BAM=90°

∴∠MAN＋∠AMN=90°，∠MAN＋∠BAO=90°

∴∠AMN=∠BAO

在△AMN和△BAO中

∴△AMN≌△BAO

∴AN=BO=4，MN=AO=3

∴ON=OA＋AN=7

∴此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（7,3）；

②當(dāng)△ABM是以∠ABM為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形時(shí)，BM=AB，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥y軸于N

∵∠MNB=∠BOA=∠ABM=90°

∴∠MBN＋∠BMN=90°，∠MBN＋∠ABO=90°

∴∠BMN=∠ABO

在△BMN和△ABO中

∴△BMN≌△ABO

∴BN=AO=3，MN=BO=4

∴ON=OB＋BN=7

∴此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4,7）；

③當(dāng)△ABM是以∠AMB為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形時(shí)，MA=MB，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸于N，MD⊥y軸于D，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y）

∴MD =ON=x，MN = OD =y，∠MNA=∠MDB=∠BMA=∠DMN=90°

∴BD=OB－OD=4－y，AN=ON－OA=x－3，∠AMN＋∠DMA=90°，∠BMD＋∠DMA=90°

∴∠AMN=∠BMD

在△AMN和△BMD中

∴△AMN≌△BMD

∴MN=MD，AN=BD

∴x=y，x－3=4－y

解得：x=y=

∴此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）

綜上所述：點(diǎn)M的坐標(biāo)為（7,3）或（4,7）或（，）．

（3）①當(dāng)k＜0時(shí)，如圖所示，過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥y軸，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，0）該直線與x軸交于正半軸，故x＞0

∴OB=4，OA=x

由題意可知：∠QBA=90°，QB=BA

∵∠QNB=∠BOA=∠ABQ=90°

∴∠QBN＋∠BQN=90°，∠QBN＋∠ABO=90°

∴∠BQN=∠ABO

在△BQN和△ABO中

∴△BQN≌△ABO

∴QN=OB=4，BN=OA=x

∴ON=OB＋BN=4＋x

在Rt△OQN中，OQ2=ON2＋QN2=（4＋x）2＋42=（x＋4）2＋16，其中x＞0

∴OQ2=（x＋4）2＋16＞16

②當(dāng)k＞0時(shí)，如圖所示，過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥y軸，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，0）該直線與x軸交于負(fù)半軸，故x＜0

∴OB=4，OA=-x

由題意可知：∠QBA=90°，QB=BA

∵∠QNB=∠BOA=∠ABQ=90°

∴∠QBN＋∠BQN=90°，∠QBN＋∠ABO=90°

∴∠BQN=∠ABO

在△BQN和△ABO中

∴△BQN≌△ABO

∴QN=OB=4，BN=OA=-x

∴ON=OB－BN=4＋x

在Rt△OQN中，OQ2=ON2＋QN2=（4＋x）2＋42=（x＋4）2＋16，其中x＜0

∴OQ2=（x＋4）2＋16≥16（當(dāng)x=-4時(shí)，取等號(hào)）

綜上所述：OQ2的最小值為16

∴OQ的最小值為4．