Question

如圖①，小聰在學(xué)習(xí)圓的性質(zhì)時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)結(jié)論，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD⊥BC，則∠BAD=∠OAC．
（1）請(qǐng)你幫小聰證明這個(gè)結(jié)論；
（2）運(yùn)用以上結(jié)論解決問題：如圖②，H為△ABC的垂心，若∠ABC的平分線BE⊥HO，⊙O的半徑為10，求弦AC的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理

專題：計(jì)算題

分析：（1）作直徑AE，連結(jié)CE，如圖①，根據(jù)圓周角定理得到∠ACE=90°，∠AEC=∠ABD，然后利用等角的余角相等即可得到結(jié)論；
（2）作直徑CF，延長(zhǎng)AH交BC于D，連結(jié)AF、BF、BH、OB，如圖②，根據(jù)圓周角定理得∠CBF=∠CAF=90°，再根據(jù)垂心的定義得AH⊥BC，BH⊥AC，則AF∥BH，AH⊥BF，于是可判斷四邊形AHBF為平行四邊形，得到AF=BH；接著由∠ABE=∠CBE，∠ABH=∠CBO得到∠HOE=∠OBE，加上OH⊥BE，所以△BOH為等腰三角形，得到BH=OB=10，則AF=10，然后在Rt△AFC中，利用勾股定理計(jì)算AC的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：作直徑AE，連結(jié)CE，如圖①，
∵AE為直徑，
∴∠ACE=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵∠AEC=∠ABD，
∴∠BAD=∠EAC，即∠BAD=∠OAC；
（2）解：作直徑CF，延長(zhǎng)AH交BC于D，連結(jié)AF、BF、BH、OB，如圖②，
∵CF為直徑，
∴∠CBF=∠CAF=90°，
∵AH⊥BC，BH⊥AC，
∴AF∥BH，AH⊥BF，
∴四邊形AHBF為平行四邊形，
∴AF=BH，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
由（1）的結(jié)論得∠ABH=∠CBO，
∴∠HOE=∠OBE，
∵OH⊥BE，
∴△BOH為等腰三角形，
∴BH=OB=10，
∴AF=BH=10，
在Rt△AFC中，∵CF=20，AF=10，
∴AC=

FC2-AF2

=10

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．也考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)和等腰三角形的判定與性質(zhì)．