Question

【題目】如圖，拋物線(xiàn) 經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軸相交于，兩點(diǎn)，

（1）拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）點(diǎn)在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，且位于軸的上方，將沿沿直線(xiàn)翻折得到，若點(diǎn)恰好落在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，求點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）設(shè)是拋物線(xiàn)上位于對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的一點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，求直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式.

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為或.

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式即可求解；

（2）設(shè)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與軸交于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，.

由翻折得，求出CH’的長(zhǎng)，可得，求出DH的長(zhǎng)，則可得D的坐標(biāo)；

（3）由題意可知為等邊三角形，分兩種討論①當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，點(diǎn)在軸上方，連接，，證出，可得垂直平分，點(diǎn)在直線(xiàn)上，可求出直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；②當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，點(diǎn)在軸下方，同理可求出另一條直線(xiàn)解析式.

（1）由題意，得

解得

拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為.

（2）拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，

，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn).

設(shè)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與軸交于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，.

上翻折得.

在中，由勾股定理，得.’

點(diǎn)的坐標(biāo)為，.

.

由翻折得.

在中，.

點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（3）取（2）中的點(diǎn)，，連接.

，.

為等邊三角形，

分類(lèi)討論如下：

①當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，點(diǎn)在軸上方.

連接，

，為等邊三角形，

，，.

，

.

,

點(diǎn)在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，

，

，

又，

垂直平分.

由翻折可知垂直平分.

點(diǎn)在直線(xiàn)上，

設(shè)直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為，

則解得

直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為.

②當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，點(diǎn)在軸下方.

，為等邊三角形，

，，.

.

.

.

，

.

.

設(shè)與軸相交于點(diǎn).

在中，.

點(diǎn)的坐標(biāo)為，

設(shè)直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為，

則解得

直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為.

綜上所述，直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為或.