Question

【題目】如圖，一條拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)在軸上．

（1）求拋物線解析式；

（2）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）過點(diǎn)作直線交拋物線于，是否存在以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（4）坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)到點(diǎn)的距離為1個(gè)單位，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或（6，0）；（3）Q（2，3）或或；（4）．

【解析】

解：（1）把A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)代入求出解析式即可；

（2）先求出直線DB的解析式，再分①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，分別求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可；

（3）分①當(dāng)四邊形APQC為平行四邊形時(shí)，②當(dāng)四邊形AQPC為平行四邊形時(shí)兩種情況求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；

（4）先證△MBE∽△OBM得到，則當(dāng)點(diǎn)D、M、E在同一直線上時(shí)，最短，求出最小值即可.

解：（1）∵拋物線與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，

∴設(shè)此拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），

將點(diǎn)C（0，3）代入，得a=-1，

∴，

（2）∵，

∴頂點(diǎn)D（1，4），

設(shè)直線DB解析式為y＝kx+b，

將D（1，4），B（3，0）代入得，，

解得：k＝﹣2，b＝6，

∴直線DB解析式為y＝﹣2x+6，

①如圖1﹣1，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，

∵∠PCB＝∠CBD，

∴CP∥BD，

設(shè)直線CP解析式為y＝﹣2x+m，

將C（0，3）代入，得m＝3，

∴直線CP解析式y＝﹣2x+3，

當(dāng)y＝0時(shí)，，

∴，

②如圖1﹣2，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，

作點(diǎn)P關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)N，延長CN交x軸于點(diǎn)P'，此時(shí)∠P'CB＝∠CBD，

∵C（0，3），B（3，0），

∴OC＝OB，

∴△OBC為等腰直角三角形，

∴∠CPB＝45°，

∴∠NBC＝45°，

∴△PBN為等腰直角三角形，

∴，

∴，

將C（0，3），代入直線CN解析式y＝nx+t，

得：，

解得，，t＝3，

∴直線CN解析式為，

當(dāng)y＝0時(shí)，x＝6，

∴P'（6，0）；

綜上所述，點(diǎn)P坐標(biāo)為或（6，0）；

（3）①如圖2﹣1，當(dāng)四邊形APQC為平行四邊形時(shí)，

∴CQ∥AP，CQ＝AP，

∵yC＝3，

∴yQ＝3，

令﹣x2+2x+3＝3，

解得：x1＝0，x2＝2，

∴Q（2，3），

②如圖2﹣2，當(dāng)四邊形AQPC為平行四邊形時(shí)，

AC∥PQ，AC＝PQ，

∴yC﹣yA＝yP﹣yQ＝3，

∵yP＝0，

∴yQ＝﹣3，

令﹣x2+2x+3＝﹣3，

解得，，，

∴，

綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q（2，3）或或；

（4）∵點(diǎn)M到點(diǎn)B的距離為1個(gè)單位，

∴點(diǎn)M在以點(diǎn)B為圓心，半徑為1的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖3

在x軸上作點(diǎn)，連接BM、EM、DE，

∴，

∵BM＝1，

∴，

∵∠MBE＝∠OBM，

∴△MBE∽△OBM，

∴，

∴，

∴，

∴當(dāng)點(diǎn)D、M、E在同一直線上時(shí)，最短，

∵D（1，4），

∴，

∴的最小值為．