Question

已知，在矩形ABCD中，E為BC邊上一點，AE⊥DE，AB=12，BE=16，F為線段BE上一點，EF=7，連接AF．如圖1，現有一張硬質紙片△GMN，∠NGM=90°，NG=6，MG=8，斜邊MN與邊BC在同一直線上，點N與點E重合，點G在線段DE上．如圖2，△GMN從圖1的位置出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿EB向點B勻速移動，同時點P從A點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿AD向點D勻速移動，點Q為直線GN與線段AE的交點，連接PQ．當點N到達終點B時，△GMN和點P同時停止運動．設運動時間為t秒，解答下列問題：

（1）在整個運動過程中，當點G在線段AE上時，求t的值；
（2）在整個運動過程中，是否存在點P，使△APQ是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由；
（3）在整個運動過程中，設△GMN與△AEF重疊部分的面積為S．請直接寫出S與t之間的函數關系式以及自變量t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）如答圖1所示，證明QEMG為平行四邊形，則運動路程QG=EM=10，t值可求；
（2）△APQ是等腰三角形，分為三種情形，需要分類討論，避免漏解．如答圖2、答圖3、答圖4所示；
（3）整個運動過程分為四個階段，每個階段重疊圖形的形狀各不相同，如答圖5-答圖8所示，分別求出其面積的表達式．
解答：解：（1）在Rt△GMN中，GN=6，GM=8，∴MN=10．
由題意，易知點G的運動線路平行于BC．
如答圖1所示，過點G作BC的平行線，分別交AE、AF于點Q、R．

∵∠AED=∠EGM=90°，∴AE∥GM．
∴四邊形QEMG為平行四邊形，
∴QG=EM=10．
∴t==10秒．

（2）存在符合條件的點P．
在Rt△ABE中，AB=12，BE=16，由勾股定理得：AE=20．
設∠AEB=θ，則sinθ=，cosθ=．
∵NE=t，∴QE=NE•cosθ=t，AQ=AE-QE=20-t．
△APQ是等腰三角形，有三種可能的情形：

①AP=PQ．如答圖2所示：
過點P作PK⊥AE于點K，則AK=AP•cosθ=t．
∵AQ=2AK，∴20-t=2×t，
解得：t=；
②AP=AQ．如答圖3所示：
有t=20-t，
解得：t=；
③AQ=PQ．如答圖4所示：
過點Q作QK⊥AP于點K，則AK=AQ•cosθ=（20-t）×=16-t．
∵AP=2AK，∴t=2（16-t），
解得：t=．
綜上所述，當t=，或秒時，存在點P，使△APQ是等腰三角形．

（3）如答圖1所示，點N到達點F的時間為t=7；
由（1）知，點G到達點Q的時間為t=10；
QE=10×=8，AQ=20-8=12，
∵GR∥BC，∴，即，∴QR=．
∴點G到達點R的時間為t=10+=；
點E到達終點B的時間為t=16．
則在△GMN運動的過程中：
①當0≤t＜7時，如答圖5所示：
QE=NE•cosθ=t，QN=NE•sinθ=t，
S=QE•QN=•t•t=t²；

②當7≤t＜10時，如答圖6所示：
設QN與AF交于點I，
∵tan∠INF==，tan∠IFN==，
∴∠INF=∠IFN，△INF為等腰三角形．
底邊NF上的高h=NF•tan∠INF=×（t-7）×=（t-7）．
S_△INF=NF•h=×（t-7）×（t-7）=（t-7）²，
∴S=S_△QNE-S_△INF=t²-（t-7）²=t²+t-；
③當10≤t＜時，如答圖7所示：
由②得：S_△INF=（t-7）²，
∴S=S_△GMN-S_△INF=24-（t-7）²=-t²+t+；

④當＜t≤16時，如答圖8所示：
FM=FE-ME=FE-（NE-MN）=17-t．
設GM與AF交于點I，過點I作IK⊥MN于點K．
∵tan∠IFK==，∴可設IK=4x，FK=3x，則FM=3x+17-t．
∵tan∠IMF===，解得：x=（17-t）．
∴IK=4x=（17-t）．
∴S=FM•IK=（t-17）²．
綜上所述，S與t之間的函數關系式為：
S=
點評：本題是運動型綜合題，難度較大，解題關鍵是清楚理解圖形的運動過程．計算過程較為復雜，需要仔細認真；第（2）（3）問中，注意均需要分情況討論，分別計算，避免漏解．