Question

已知拋物線C₁：y=a（x+1）²﹣2的頂點(diǎn)為A，且經(jīng)過點(diǎn)B（﹣2，﹣1）．

（1）求A點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線C₁的解析式；

（2）如圖1，將拋物線C₁向下平移2個(gè)單位后得到拋物線C₂，且拋物線C₂與直線AB相交于C，D兩點(diǎn)，求S_△OAC：S_△OAD的值；

（3）如圖2，若過P（﹣4，0），Q（0，2）的直線為l，點(diǎn)E在（2）中拋物線C₂對(duì)稱軸右側(cè)部分（含頂點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)，直線m過點(diǎn)C和點(diǎn)E．問：是否存在直線m，使直線l，m與x軸圍成的三角形和直線l，m與y軸圍成的三角形相似？若存在，求出直線m的解析式；若不存在，說明理由．

　

 

Answer 1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的增減性．

【專題】壓軸題；存在型．

【分析】（1）由拋物線的頂點(diǎn)式易得頂點(diǎn)A坐標(biāo)，把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可解決問題．

（2）根據(jù)平移法則求出拋物線C₂的解析式，用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，再通過解方程組求出拋物線C₂與直線AB的交點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，就可以求出S_△OAC：S_△OAD的值．

（3）設(shè)直線m與y軸交于點(diǎn)G，直線l，m與x軸圍成的三角形和直線l，m與y軸圍成的三角形形狀、位置隨著點(diǎn)G的變化而變化，故需對(duì)點(diǎn)G的位置進(jìn)行討論，借助于相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的增減性等知識(shí)求出符合條件的點(diǎn)G的坐標(biāo)，從而求出相應(yīng)的直線m的解析式．

【解答】解：（1）∵拋物線C₁：y=a（x+1）²﹣2的頂點(diǎn)為A，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2）．

∵拋物線C₁：y=a（x+1）²﹣2經(jīng)過點(diǎn)B（﹣2，﹣1），

∴a（﹣2+1）²﹣2=﹣1．

解得：a=1．

∴拋物線C₁的解析式為：y=（x+1）²﹣2．

 

（2）∵拋物線C₂是由拋物線C₁向下平移2個(gè)單位所得，

∴拋物線C₂的解析式為：y=（x+1）²﹣2﹣2=（x+1）²﹣4．

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b．

∵A（﹣1，﹣2），B（﹣2，﹣1），

∴

解得：

∴直線AB的解析式為y=﹣x﹣3．

聯(lián)立

解得：或．

∴C（﹣3，0），D（0，﹣3）．

∴OC=3，OD=3．

過點(diǎn)A作AE⊥x軸，垂足為E，

過點(diǎn)A作AF⊥y軸，垂足為F，

∵A（﹣1，﹣2），

∴AF=1，AE=2．

∴S_△OAC：S_△OAD

=（OC•AE）：（OD•AF）

=（×3×2）：（×3×1）

=2．

∴S_△OAC：S_△OAD的值為2．

 

（3）設(shè)直線m與y軸交于點(diǎn)G，設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，t）．

1．當(dāng)直線m與直線l平行時(shí)，則有CG∥PQ．

∴△OCG∽△OPQ．

∴=．

∵P（﹣4，0），Q（0，2），

∴OP=4，OQ=2，

∴=．

∴OG=．

∵當(dāng)t=時(shí)，直線m與直線l平行，

∴直線l，m與x軸不能構(gòu)成三角形．

∴t≠．

2．當(dāng)直線m與直線l相交時(shí)，設(shè)交點(diǎn)為H，

①t＜0時(shí)，如圖2①所示．

∵∠PHC＞∠PQG，∠PHC＞∠QGH，

∴∠PHC≠∠PQG，∠PHC≠∠QGH．

當(dāng)∠PHC=∠GHQ時(shí)，

∵∠PHC+∠GHQ=180°，

∴∠PHC=∠GHQ=90°．

∵∠POQ=90°，

∴∠HPC=90°﹣∠PQO=∠HGQ．

∴△PHC∽△GHQ．

∵∠QPO=∠OGC，

∴tan∠QPO=tan∠OGC．

∴=．

∴=．

∴OG=6．

∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，﹣6）

設(shè)直線m的解析式為y=mx+n，

∵點(diǎn)C（﹣3，0），點(diǎn)G（0，﹣6）在直線m上，

∴．

解得：．

∴直線m的解析式為y=﹣2x﹣6，

聯(lián)立，

解得：或

∴E（﹣1，﹣4）．

此時(shí)點(diǎn)E就是拋物線的頂點(diǎn)，符合條件．

∴直線m的解析式為y=﹣2x﹣6．

②當(dāng)t=0時(shí)，

此時(shí)直線m與x軸重合，

∴直線l，m與x軸不能構(gòu)成三角形．

∴t≠0．

③O＜t＜時(shí)，如圖2②所示，

∵tan∠GCO==＜，

tan∠PQO===2，

∴tan∠GCO≠tan∠PQO．

∴∠GCO≠∠PQO．

∵∠GCO=∠PCH，

∴∠PCH≠∠PQO．

又∵∠HPC＞∠PQO，

∴△PHC與△GHQ不相似．

∴符合條件的直線m不存在．

④＜t≤2時(shí)，如圖2③所示．

∵tan∠CGO==≥，

tan∠QPO===．

∴tan∠CGO≠tan∠QPO．

∴∠CGO≠∠QPO．

∵∠CGO=∠QGH，

∴∠QGH≠∠QPO，

又∵∠HQG＞∠QPO，

∴△PHC與△GHQ不相似．

∴符合條件的直線m不存在．

⑤t＞2時(shí)，如圖2④所示．

此時(shí)點(diǎn)E在對(duì)稱軸的右側(cè)．

∵∠PCH＞∠CGO，

∴∠PCH≠∠CGO．

當(dāng)∠QPC=∠CGO時(shí)，

∵∠PHC=∠QHG，∠HPC=∠HGQ，

∴△PCH∽△GQH．

∴符合條件的直線m存在．

∵∠QPO=∠CGO，∠POQ=∠GOC=90°，

∴△POQ∽△GOC．

∴=．

∴=．

∴OG=6．

∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，6）．

設(shè)直線m的解析式為y=px+q

∵點(diǎn)C（﹣3，0）、點(diǎn)G（0，6）在直線m上，

∴．

解得：．

∴直線m的解析式為y=2x+6．

綜上所述：存在直線m，使直線l，m與x軸圍成的三角形和直線l，m與y軸圍成的三角形相似，

此時(shí)直線m的解析式為y=﹣2x﹣6和y=2x+6．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，考查了三角形相似的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的定義及增減性等知識(shí)，考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)及一次函數(shù)的解析式，考查了通過解方程組求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)，強(qiáng)化了對(duì)運(yùn)算能力、批判意識(shí)、分類討論思想的考查，具有較強(qiáng)的綜合性，有一定的難度．