Question

7．如圖，在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上的點(diǎn)，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分線CP于點(diǎn)P，交邊CD于點(diǎn)F．
（1）求證：AE=EP；
（2）在AB邊上是否存在點(diǎn)M，使得四邊形DMEP是平行四邊形？若存在，請(qǐng)給予證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）在AB上取BN=BE，連接EH，根據(jù)已知及正方形的性質(zhì)利用ASA判定△AHE≌△ECP，從而得到AE=EP；
（2）先證△DAM≌△ABE，進(jìn)而可得四邊形DMEP是平行四邊形．

解答 （1）證明：在AB上截取BN=B，如圖1所示：
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=BC，∠B=90°．
∴AN=EC，∠1=∠2=45°．
∴∠4=135°．
∵CP為正方形ABCD的外角平分線，
∴∠PCE=135°．
∴∠PCE=∠4．
∵∠AEP=90°，
∴∠BEA+∠3=90°．
∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠3=∠BAE．
∴△ANE≌△ECP．
∴AE=EP
（2）解：存在點(diǎn)M使得四邊形DMEP是平行四邊形．理由如下：
過(guò)點(diǎn)D作DM∥PE，交AE于點(diǎn)K，交AB于點(diǎn)M，連接ME、DP．
∴∠AKD=∠AEP=90°．
∵∠BAD=90°，
∴∠ADM+∠AMD=90°，∠MAK+∠AMD=90°．
∴∠ADM=∠MAK．
∵AD=AB，∠B=∠DAB，
∴△AMD≌△BEA．
∴DM=AE．
∴DM=EP．
∴四邊形DMEP為平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及平行四邊形的判定，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是要熟練掌握正方形的性質(zhì)及三角形相似的判定和性質(zhì)，