Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=m，BC=n，將此矩形繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜90°）得到矩形A1BC1D1，點(diǎn)A1在邊CD上．

（1）若m=2，n=1，求在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)D到點(diǎn)D1所經(jīng)過路徑的長(zhǎng)度；

（2）將矩形A1BC1D1繼續(xù)繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形A2BC2D2，點(diǎn)D2在BC的延長(zhǎng)線上，設(shè)邊A2B與CD交于點(diǎn)E，若=﹣1，求的值．

Answer 1

【答案】（1）D到點(diǎn)D1所經(jīng)過路徑的長(zhǎng)度為π；（2）（負(fù)根已經(jīng)舍棄）．

【解析】（1）作A1H⊥AB于H，連接BD，BD1，則四邊形ADA1H是矩形．解直角三角形，求出∠ABA1，得到旋轉(zhuǎn)角即可解決問題；

（2）由△BCE∽△BA2D2，推出，可得CE=，由-1推出，推出A1C=，推出BH=A1C=，可得m2-n2=6，可得1-=6，由此解方程即可解決問題；

（1）作A1H⊥AB于H，連接BD，BD1，則四邊形ADA1H是矩形．

∴AD=HA1=n=1，

在Rt△A1HB中，∵BA1=BA=m=2，

∴BA1=2HA1，

∴∠ABA1=30°，

∴旋轉(zhuǎn)角為30°，

∵BD=，

∴D到點(diǎn)D1所經(jīng)過路徑的長(zhǎng)度=

（2）∵△BCE∽△BA2D2，

∴，

∴CE=

∵-1

∴，

∴A1C=，

∴BH=A1C=，

∴m2-n2=6，

∴m4-m2n2=6n4，

1-=6，

∴（負(fù)根已經(jīng)舍棄）．