Question

【題目】如圖所示，在坐標(biāo)平面內(nèi)，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A（0，6）、B（2，0），且∠OBA＝60°，將△OAB沿直線AB翻折，得到△CAB，點(diǎn)O與點(diǎn)C對(duì)應(yīng)。

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)O出發(fā)，以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度沿折線O—A—C向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)△FOB的面積為S（S≠0），點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求S與t的關(guān)系式，并直接寫出t的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)B作x軸垂線，交AC于點(diǎn)E，在點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)t為何值時(shí)，△BEF是以BE為腰的等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）C(3,3)；(2)當(dāng)0<t3時(shí)，S=；當(dāng)3<t6時(shí)，S= (3) t=1或t=3時(shí)，△BEF是以BE為腰的等腰三角形.

【解析】

（1）連接OC，過C點(diǎn)作CH⊥x軸于H點(diǎn)，易證△OAC是等邊三角形，則OC=OA，在直角△OCH中，求得CH和OH，則C的坐標(biāo)即可求得；

（2）分成當(dāng)0<t≤3和3<t≤6兩種情況，利用三角形的面積公式即可求解；

（3）分B是頂角頂點(diǎn)和E是頂角頂點(diǎn)兩種情況進(jìn)行討論．

(1)連接OC，過C點(diǎn)作CH⊥x軸于H點(diǎn)

∵折疊△OAB，

∴OA=AC,∠OBA=∠CBA=60°,OB=CB,∠CBH=60°

∴△OAC是等邊三角形

∴∠BCH=30°

∴BH=BC=×2=,OH=2+=3，

∵OC=OA=6,∠COH=30°

∴CH=×6=3.

∴C(3,3)；

(2)當(dāng)0<t3時(shí)：

OF=2t,S=；

當(dāng)3<t6時(shí)：點(diǎn)F在AC上，

過點(diǎn)F作FG⊥y軸于G，連結(jié)OF，BF，

由運(yùn)動(dòng)知，AF＝2t6，

由折疊知，∠OAC＝2∠OAB＝60°

∴AG＝t3，OG＝6（t3）＝9t，

S＝OB×OG＝＝9-t；

(3)如圖

∵BE∥OA

∴∠ABE=∠OAB=30°

∴∠EBC=30°

∴CE=BE，BE=AE

∴BE=4.

當(dāng)E是頂角頂點(diǎn)時(shí)，

∵∠ABE=30°,∠BAC=30°，則當(dāng)F運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，△BEF為等腰三角形，即t=3；

當(dāng)B是頂角頂點(diǎn)時(shí),即BF=BE時(shí),△BOF≌△BCE，

∴OF=CE=2

∴t=1.

此時(shí)，△BEF為等邊三角形。

綜上所述，t=1或t=3時(shí)，△BEF是以BE為腰的等腰三角形.