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11.如圖,已知直線y=-2x+8與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、C,以O(shè)A、OC為邊在第一象限內(nèi)作長方形OABC.
(1)求點(diǎn)A、C的坐標(biāo);
(2)將△ABC對折,使得點(diǎn)A的與點(diǎn)C重合,折痕交AB于點(diǎn)D,求直線CD的解析式;
(3)在(2)的條件下,坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P(除點(diǎn)B外),使得△APC與△ABC全等?若存在,直接寫出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

分析 (1)已知直線y=-2x+8與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、C,即可求得A和C的坐標(biāo);
(2)根據(jù)題意可知△ACD是等腰三角形,算出AD長即可求得D點(diǎn)坐標(biāo),最后即可求出CD的解析式;
(3)將點(diǎn)P在不同象限進(jìn)行分類,根據(jù)全等三角形的判定方法找出所有全等三角形,找出符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo).

解答 解:(1)令y=0,則-2x+8=0,解得x=4,
∴A(4,0),
令x=0,則y=8,
∴C(0,8);
(2)由折疊可知:CD=AD,
設(shè)AD=x,則CD=x,BD=8-x,
由題意得,(8-x)2+42=x2,
解得x=5,
此時(shí)AD=5,
∴D(4,5),
設(shè)直線CD為y=kx+8,
把D(4,5)代入得5=4k+8,解得k=-34
∴直線CD的解析式為y=-34x+8;
(3)①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí),△APC≌△CBA,此時(shí)P(0,0)
②當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí),如圖1,
由△APC≌△CBA得∠ACP=∠CAB,
則點(diǎn)P在直線CD上.過P作PQ⊥AD于點(diǎn)Q,
在Rt△ADP中,
AD=5,AP=BC=4,PD=BD=8-5=3,
由AD×PQ=DP×AP得:5PQ=3×4,
∴PQ=125,
∴xP=4+125=325,把x=325代入y=-34x+8得y=165,
此時(shí)P(325,165
③當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時(shí),如圖2,
同理可求得:PQ=125
在RT△PCQ中,CQ=PC2PQ2=421252=165,
∴OQ=8-165=245,
此時(shí)P(-125,245),
綜上,滿足條件的點(diǎn)P有三個(gè),分別為:(0,0),(325,165),(-125,245).

點(diǎn)評 本題是一次函數(shù)的綜合題,主要考查了折疊的性質(zhì),一次函數(shù)圖象及其性質(zhì),待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式,等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì),分類討論思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

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