Question

如圖，菱形ABCD的邊長為2cm，∠DAB=60°．點P從A點出發(fā)，以cm/s的速度，沿AC向C作勻速運動；與此同時，點Q也從A點出發(fā)，以1cm/s的速度，沿射線AB作勻速運動．當(dāng)P運動到C點時，P、Q都停止運動．設(shè)點P運動的時間為ts．
（1）當(dāng)P異于A．C時，請說明PQ∥BC；
（2）以P為圓心、PQ長為半徑作圓，請問：在整個運動過程中，t為怎樣的值時，⊙P與邊BC分別有1個公共點和2個公共點？

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，且菱形ABCD的邊長為2cm，
∴AB=BC=2，∠BAC=∠DAB，
又∵∠DAB=60°（已知），
∴∠BAC=∠BCA=30°；
如圖1，連接BD交AC于O．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC?BD，OA=AC，
∴OB=AB=1（30°角所對的直角邊是斜邊的一半），
∴OA=，AC=2OA=2，
運動ts后，，
∴
又∵∠PAQ=∠CAB，
∴△PAQ∽△CAB，
∴∠APQ=∠ACB（相似三角形的對應(yīng)角相等），
∴PQ∥BC（同位角相等，兩直線平行）
（2）如圖2，⊙P與BC切于點M，連接PM，
則PM⊥BC．
在Rt△CPM中，∵∠PCM=30°，
∴PM=PC=
由PM=PQ=AQ=t，即=t
解得t=4﹣6，此時⊙P與邊BC有一個公共點；
如圖3，⊙P過點B，此時PQ=PB，
∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°
∴△PQB為等邊三角形，
∴QB=PQ=AQ=t，
∴t=1
∴時，⊙P與邊BC有2個公共點．
如圖4，⊙P過點C，此時PC=PQ，即2t=t，
∴t=3﹣．∴當(dāng)1≦t≦3﹣時，⊙P與邊BC有一個公共點，
當(dāng)點P運動到點C，即t=2時，⊙P過點B，
此時，⊙P與邊BC有一個公共點，
∴當(dāng)t=4﹣6或1＜t≦3﹣或t=2時，⊙P與菱形ABCD的邊BC有1個公共點；
當(dāng)4﹣6＜t≦1時，⊙P與邊BC有2個公共點．