Question

如圖，直線y=-x+4與兩坐標(biāo)軸分別相交于A、B點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AB上任意一點(diǎn)（A、B兩點(diǎn)除外），過M分別作MC⊥OA于點(diǎn)C，MD⊥OB于D．
（1）當(dāng)點(diǎn)M在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，你認(rèn)為四邊形OCMD的周長是否發(fā)生變化？并說明理由；
（2）設(shè)△BDM的面積為S₁，四邊形OCMD的面積S₂，△MCA的面積為S₃．
①用含x的代數(shù)式表示S₁、S₂和S₃，并寫出同時(shí)含S₁、S₂和S₃的等式關(guān)系；
②當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，S₂有最大值？最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為-x+4，從而可得出矩形OCMD的周長，繼而可作出判斷；
（2）①先由解析式求出點(diǎn)B、點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后得出BD、AC的長度，繼而根據(jù)三角形、及矩形的面積公式可用含x的代數(shù)式表示S₁、S₂和S₃，也可寫出含S₁、S₂和S₃的等式關(guān)系．
②根據(jù)①所求的S₂關(guān)于x的表達(dá)式，利用配方法確定最值即可．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為-x+4，
則MC=-x+4，MD=x，
C_{四邊形OCMD}=2（MC+MD）=2（-x+4+x）=8，
當(dāng)點(diǎn)M在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形OCMD的周長不發(fā)生變化，總是等于8．
（2）根據(jù)直線AB的解析式可得，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），
①設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，-x+4），
則BD=OB-OD=4-（-x+4）=x，AC=OA-OC=4-x，
從而可得S₁=

1

2

x×x=

1

2

x²；S₂=x（4-x）=-x²+4x；S₃=

1

2

（4-x）（4-x）=

1

2

x²-4x+8，
等式關(guān)系為：S₁+S₂+S₃=8；
②S₂=x（4-x）=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∵0＜x＜4，
∴當(dāng)x=2時(shí)，S₂取得最大值，最大值為4．
即當(dāng)點(diǎn)M位于（2，2）時(shí)，S₂取得最大值，最大值為4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)綜合題，解答本題的關(guān)鍵是熟練點(diǎn)的坐標(biāo)與線段長度之間的轉(zhuǎn)化，掌握三角形及矩形的面積計(jì)算公式，總體來說本題難度不大．