Question

已知二次函數(shù)
（1）求證：不論a為何實(shí)數(shù)，此函數(shù)圖象與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)．
（2）設(shè)a<0，當(dāng)此函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為時(shí)，求出此二次函數(shù)的解析式．
（3）在（2）的條件下，若此二次函數(shù)圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，在函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P，使得△PAB的面積為，若存在求出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在請說明理由。

Answer 1

(1)證明見解析；（2）；（3）(－2,3), (3,3), (0, －3)或(1, －3)

試題分析：（（1）根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，求出△的值，若為正數(shù)，則此函數(shù)圖象與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)．
（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的距離公式解答即可．
試題解析：（1）因?yàn)椤?
所以不論a為何實(shí)數(shù)，此函數(shù)圖象與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)
（2）設(shè)x₁、x₂是的兩個(gè)根，則，，因兩交點(diǎn)的距離是，所以
即：
變形為：
所以：
整理得：
解方程得：
又因?yàn)椋篴<0
所以：a=－1
所以：此二次函數(shù)的解析式為
（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，因?yàn)楹瘮?shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離等于，所以：AB=
所以：S_△PAB=
所以：
即：，則
當(dāng)時(shí)，，即
解此方程得：=－2或3
當(dāng)時(shí)，，即
解此方程得：=0或1
綜上所述，所以存在這樣的P點(diǎn)，P點(diǎn)坐標(biāo)是(－2,3), (3,3), (0, －3)或(1, －3)