Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（1）如圖1，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，是等腰直角三角形，，，求點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）如圖2，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：；

（3）如圖3，是等腰直角三角形，，，是等邊三角形，連接，若，求點(diǎn)坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）（7，3）；（2）見詳解；（3）（2，0）.

【解析】

（1）過點(diǎn)C作CM⊥x軸于點(diǎn)M，由△ABC是等腰直角三角形，則AB=BC，然后證明△AOB≌△BMC，得到AO=BM，OB=CM，即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)題意，△ABO是直角三角形，點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，即可得到；

（3）根據(jù)題意，把△DAO繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)60°得到△DCG，作CM⊥BG與M，則△DAO≌△DCG，得到∠AOD=∠CGD=30°，CG=OA=4，然后得到△ODG是等邊三角形，求出∠CGM=30°，得到，再由△AOB≌△BMC，得到OB=CM=2，即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo).

解：（1）如圖，過點(diǎn)C作CM⊥x軸于點(diǎn)M，則∠BMC=90°=∠AOB，

∵點(diǎn)A為（0，4），點(diǎn)B為（3，0），

∴OA=4，OB=3，

∵AB=BC，∠ABC=90°，

∴∠ABO+∠CBM=90°，∠BCM+∠CBM=90°，

∴∠ABO=∠BCM，

∴△AOB≌△BMC，

∴OA=BM，OB=CM=3，

∴OM=OB+BM=3+4=7，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（7，3）；

（2）如圖，

∵△AOB是直角三角形，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，

∴OE=OA=OB=，

∴；

（3）根據(jù)題意，如圖，把△DAO繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)60°，得到△DCG，作CM⊥BG與M，

則△DAO≌△DCG，

∴∠AOD=∠CGD=30°，CG=OA=4，

∵OD=DG，∠ODG=60°，

∴△ODG是等邊三角形，

∴∠OGD=60°，

∴∠CGM=60°-30°=30°，

在Rt△CGM中，CM=，

由（1）知，△AOB≌△BMC，

∴OB=CM，

∴OB=2，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（2，0）.